Решите систему уравнений { x² + y² = 10, y³ + x3 + x²y + xy² = -40.

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y^3 + x^3 + x^2y + xy^2 = -40 \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение системы:

$$y^3 + x^3 + x^2y + xy^2 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) + xy(x+y) = (x+y)(x^2 - xy + y^2 + xy) = (x+y)(x^2 + y^2)$$

Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ (x+y)(x^2 + y^2) = -40 \end{cases}$$

Подставим первое уравнение во второе:

$$(x+y) \cdot 10 = -40$$ $$x+y = -4$$

Выразим x через y:

$$x = -4 - y$$

Подставим в первое уравнение:

$$(-4-y)^2 + y^2 = 10$$ $$16 + 8y + y^2 + y^2 = 10$$ $$2y^2 + 8y + 6 = 0$$ $$y^2 + 4y + 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$ $$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 - 2}{2} = -3$$

Найдем соответствующие значения x:

$$x_1 = -4 - (-1) = -3$$ $$x_2 = -4 - (-3) = -1$$

Таким образом, решения системы:

$$(x_1, y_1) = (-3, -1)$$ $$(x_2, y_2) = (-1, -3)$$

Ответ: (-3, -1), (-1, -3)