Решите систему уравнений - x²+ xy = 10, y² + xy 15. -

Решим систему уравнений:

$\backslash begin\{cases\}x^2\; +\; xy\; =\; 10\; \backslash \backslash \; y^2\; +\; xy\; =\; 15\backslash end\{cases\}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$y^2\; -\; x^2\; =\; 5$

$(y\; -\; x)(y\; +\; x)\; =\; 5$

Выразим $xy$ из первого уравнения: $xy\; =\; 10\; -\; x^2$. Подставим во второе уравнение:

$y^2\; +\; 10\; -\; x^2\; =\; 15$

$y^2\; -\; x^2\; =\; 5$

Пусть $y\; =\; kx$. Тогда, подставляя в уравнения, получим:

$x^2\; +\; kx^2\; =\; 10\; ento\; x^2(1\; +\; k)\; =\; 10$

$k^2x^2\; +\; kx^2\; =\; 15\; ento\; x^2(k^2\; +\; k)\; =\; 15$

Разделим второе уравнение на первое:

$\backslash frac\{k^2\; +\; k\}\{1\; +\; k\}\; =\; \backslash frac\{15\}\{10\}$

$\backslash frac\{k(k\; +\; 1)\}\{1\; +\; k\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}$

$k\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}$

Тогда $y\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}x$.

Подставим в первое уравнение исходной системы:

$x^2\; +\; x\; \backslash cdot\; \backslash frac\{3\}\{2\}x\; =\; 10$

$x^2\; +\; \backslash frac\{3\}\{2\}x^2\; =\; 10$

$\backslash frac\{5\}\{2\}x^2\; =\; 10$

$x^2\; =\; 4$

$x\; =\; \backslash pm\; 2$

Если $x\; =\; 2$, то $y\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}\; \backslash cdot\; 2\; =\; 3$.

Если $x\; =\; -2$, то $y\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}\; \backslash cdot\; (-2)\; =\; -3$.

Проверим:

Для $x\; =\; 2,\; y\; =\; 3$:

$2^2\; +\; 2\; \backslash cdot\; 3\; =\; 4\; +\; 6\; =\; 10$

$3^2\; +\; 2\; \backslash cdot\; 3\; =\; 9\; +\; 6\; =\; 15$

Для $x\; =\; -2,\; y\; =\; -3$:

$(-2)^2\; +\; (-2)\; \backslash cdot\; (-3)\; =\; 4\; +\; 6\; =\; 10$

$(-3)^2\; +\; (-2)\; \backslash cdot\; (-3)\; =\; 9\; +\; 6\; =\; 15$

Оба решения подходят.

Ответ: (2; 3), (-2; -3)