Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Решите систему уравнений 3x²y = 2x - y; 2xy² = y - x Сколько решений имеет эта система?
Ответ:
Давай решим эту систему уравнений по шагам.
1. Преобразуем уравнения
Преобразуем первое уравнение:
\[3x^2y = 2x - y \]
\[3x^2y + y = 2x \]
\[y(3x^2 + 1) = 2x \]
\[y = \frac{2x}{3x^2 + 1} \]
Преобразуем второе уравнение:
\[2xy^2 = y - x \]
\[x = y - 2xy^2 \]
\[x = y(1 - 2y^2) \]
2. Подставим значение y во второе уравнение
Подставим выражение для \(y\) из первого уравнения во второе:
\[x = \frac{2x}{3x^2 + 1} (1 - 2(\frac{2x}{3x^2 + 1})^2) \]
3. Анализируем возможные случаи
* Если \(x = 0\), тогда из первого уравнения \(y = \frac{2(0)}{3(0)^2 + 1} = 0\). Итак, \((0, 0)\) - одно из решений.
* Если \(x
eq 0\), то можно разделить обе части уравнения на \(x\): \[1 = \frac{2}{3x^2 + 1} (1 - 2(\frac{2x}{3x^2 + 1})^2) \] \[1 = \frac{2}{3x^2 + 1} (1 - 2 \cdot \frac{4x^2}{(3x^2 + 1)^2}) \] \[1 = \frac{2}{3x^2 + 1} (\frac{(3x^2 + 1)^2 - 8x^2}{(3x^2 + 1)^2}) \] \[(3x^2 + 1)^3 = 2((3x^2 + 1)^2 - 8x^2) \] \[(3x^2 + 1)^3 = 2(9x^4 + 6x^2 + 1 - 8x^2) \] \[(3x^2 + 1)^3 = 2(9x^4 - 2x^2 + 1) \] \[27x^6 + 27x^4 + 9x^2 + 1 = 18x^4 - 4x^2 + 2 \] \[27x^6 + 9x^4 + 13x^2 - 1 = 0 \] 4. Решаем уравнение шестой степени Пусть \(z = x^2\), тогда: \[27z^3 + 9z^2 + 13z - 1 = 0 \] Попробуем найти рациональные корни этого уравнения. Возможные рациональные корни - \(\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm \frac{1}{27}\). При \(z = \frac{1}{3}\): \[27(\frac{1}{3})^3 + 9(\frac{1}{3})^2 + 13(\frac{1}{3}) - 1 = 27 \cdot \frac{1}{27} + 9 \cdot \frac{1}{9} + \frac{13}{3} - 1 = 1 + 1 + \frac{13}{3} - 1 = 1 + \frac{13}{3} = \frac{16}{3}
eq 0 \] При \(z = -\frac{1}{3}\): \[27(-\frac{1}{3})^3 + 9(-\frac{1}{3})^2 + 13(-\frac{1}{3}) - 1 = -1 + 1 - \frac{13}{3} - 1 = -1 - \frac{13}{3}
eq 0 \] Однако, можно заметить, что один из корней кубического уравнения приблизительно равен \(z \approx 0.07\), что означает, что существует два вещественных корня для \(x\), так как \(x = \pm \sqrt{z}\). Таким образом, система имеет три решения: одно решение \((0, 0)\) и два других, которые можно найти численно. Ответ: 3
eq 0\), то можно разделить обе части уравнения на \(x\): \[1 = \frac{2}{3x^2 + 1} (1 - 2(\frac{2x}{3x^2 + 1})^2) \] \[1 = \frac{2}{3x^2 + 1} (1 - 2 \cdot \frac{4x^2}{(3x^2 + 1)^2}) \] \[1 = \frac{2}{3x^2 + 1} (\frac{(3x^2 + 1)^2 - 8x^2}{(3x^2 + 1)^2}) \] \[(3x^2 + 1)^3 = 2((3x^2 + 1)^2 - 8x^2) \] \[(3x^2 + 1)^3 = 2(9x^4 + 6x^2 + 1 - 8x^2) \] \[(3x^2 + 1)^3 = 2(9x^4 - 2x^2 + 1) \] \[27x^6 + 27x^4 + 9x^2 + 1 = 18x^4 - 4x^2 + 2 \] \[27x^6 + 9x^4 + 13x^2 - 1 = 0 \] 4. Решаем уравнение шестой степени Пусть \(z = x^2\), тогда: \[27z^3 + 9z^2 + 13z - 1 = 0 \] Попробуем найти рациональные корни этого уравнения. Возможные рациональные корни - \(\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm \frac{1}{27}\). При \(z = \frac{1}{3}\): \[27(\frac{1}{3})^3 + 9(\frac{1}{3})^2 + 13(\frac{1}{3}) - 1 = 27 \cdot \frac{1}{27} + 9 \cdot \frac{1}{9} + \frac{13}{3} - 1 = 1 + 1 + \frac{13}{3} - 1 = 1 + \frac{13}{3} = \frac{16}{3}
eq 0 \] При \(z = -\frac{1}{3}\): \[27(-\frac{1}{3})^3 + 9(-\frac{1}{3})^2 + 13(-\frac{1}{3}) - 1 = -1 + 1 - \frac{13}{3} - 1 = -1 - \frac{13}{3}
eq 0 \] Однако, можно заметить, что один из корней кубического уравнения приблизительно равен \(z \approx 0.07\), что означает, что существует два вещественных корня для \(x\), так как \(x = \pm \sqrt{z}\). Таким образом, система имеет три решения: одно решение \((0, 0)\) и два других, которые можно найти численно. Ответ: 3
Ответ: 3
