Решите систему уравнений: { 2x + xy - 4y = 12, x - xy + y = -3. Решением системы уравнений являются пары чисел:

Ответ: (3; -3) и (2; -4)

Разбираемся:

Дана система уравнений:

\[\begin{cases} 2x + xy - 4y = 12 \\ x - xy + y = -3 \end{cases}\]

Шаг 1: Сложим первое и второе уравнения, чтобы исключить xy:

\[(2x + xy - 4y) + (x - xy + y) = 12 + (-3)\] \[3x - 3y = 9\]

Шаг 2: Упростим полученное уравнение, разделив обе части на 3:

\[x - y = 3\]

Шаг 3: Выразим x через y:

\[x = y + 3\]

Шаг 4: Подставим выражение для x во второе уравнение исходной системы:

\[(y + 3) - (y + 3)y + y = -3\]

Шаг 5: Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[y + 3 - y^2 - 3y + y = -3\] \[-y^2 - y + 3 = -3\] \[y^2 + y - 6 = 0\]

Шаг 6: Решим квадратное уравнение относительно y:

\[y^2 + y - 6 = 0\]

По теореме Виета:

\[y_1 + y_2 = -1, \quad y_1 \cdot y_2 = -6\]

Отсюда:

\[y_1 = -3, \quad y_2 = 2\]

Шаг 7: Найдем соответствующие значения x для каждого значения y:

Для y = -3:

\[x = -3 + 3 = 0\]

Для y = 2:

\[x = 2 + 3 = 5\]

Шаг 8: Проверим полученные решения, подставив их в исходную систему уравнений:

Решение 1: (0, -3)

Первое уравнение:

\[2(0) + 0\cdot(-3) - 4(-3) = 0 + 0 + 12 = 12 \quad \text{(верно)}\]

Второе уравнение:

\[0 - 0\cdot(-3) + (-3) = 0 - 0 - 3 = -3 \quad \text{(верно)}\]

Решение 2: (5, 2)

Первое уравнение:

\[2(5) + 5\cdot(2) - 4(2) = 10 + 10 - 8 = 12 \quad \text{(верно)}\]

Второе уравнение:

\[5 - 5\cdot(2) + 2 = 5 - 10 + 2 = -3 \quad \text{(верно)}\]

Шаг 9: Запишем пары решений:

(0; -3) и (5; 2)

Ответ: (0; -3) и (5; 2)