4.1.51. Решите систему уравнений { x + y = 7, x2 + y2 = 9 + 2xy.

Решим систему уравнений:

\(\begin{cases} x + y = 7, \\ x^2 + y^2 = 9 + 2xy.\end{cases}\)

1. Выразим переменную x через y из первого уравнения:

   \(x = 7 - y\)

2. Подставим полученное выражение во второе уравнение:

   \((7 - y)^2 + y^2 = 9 + 2(7 - y)y\)

3. Раскроем скобки и упростим:

   \(49 - 14y + y^2 + y^2 = 9 + 14y - 2y^2\)

   \(2y^2 - 14y + 49 = 9 + 14y - 2y^2\)

   \(4y^2 - 28y + 40 = 0\)

4. Разделим уравнение на 4:

   \(y^2 - 7y + 10 = 0\)

5. Решим квадратное уравнение:

   \(y^2 - 7y + 10 = 0\)

   \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\)

   \(y_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5\)

   \(y_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2\)

6. Найдем соответствующие значения x:

   Если \(y_1 = 5\), то \(x_1 = 7 - 5 = 2\)

   Если \(y_2 = 2\), то \(x_2 = 7 - 2 = 5\)

Ответ: (2; 5), (5; 2)