Решите систему уравнений: x - y + xy = 10, x²y – xy² = 24.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим второе уравнение.\[x^2y - xy^2 = xy(x-y) = 24\]
2. Шаг 2: Выразим (x - y) из первого уравнения.\[x - y = 10 - xy\]
3. Шаг 3: Подставим (x - y) во второе уравнение.\[xy(10 - xy) = 24\]\[10xy - (xy)^2 = 24\]
4. Шаг 4: Введем новую переменную: a = xy.\[10a - a^2 = 24\]\[a^2 - 10a + 24 = 0\]
5. Шаг 5: Решим квадратное уравнение относительно a.
   Показать расчеты

   Используем дискриминант:

   \[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4\]\[a_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = 6\]\[a_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{10 - 2}{2} = 4\]
6. Шаг 6: Получаем два значения для xy.
   1. Если \( xy = 6 \), то \( x - y = 10 - 6 = 4 \)
   2. Если \( xy = 4 \), то \( x - y = 10 - 4 = 6 \)
7. Шаг 7: Рассмотрим первый случай: xy = 6 и x - y = 4.
   1. Выразим x: \( x = y + 4 \)
   2. Подставим в первое уравнение: \( (y + 4)y = 6 \)
   3. \( y^2 + 4y - 6 = 0 \)
8. Шаг 8: Решим квадратное уравнение относительно y.
   Показать расчеты

   Используем дискриминант:

   \[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 16 + 24 = 40\]\[y_1 = \frac{-4 + \sqrt{40}}{2} = -2 + \sqrt{10}\]\[y_2 = \frac{-4 - \sqrt{40}}{2} = -2 - \sqrt{10}\]
9. Шаг 9: Найдем соответствующие значения x.
   1. Если \( y = -2 + \sqrt{10} \), то \( x = 2 + \sqrt{10} \)
   2. Если \( y = -2 - \sqrt{10} \), то \( x = 2 - \sqrt{10} \)
10. Шаг 10: Рассмотрим второй случай: xy = 4 и x - y = 6.
    1. Выразим x: \( x = y + 6 \)
    2. Подставим в первое уравнение: \( (y + 6)y = 4 \)
    3. \( y^2 + 6y - 4 = 0 \)
11. Шаг 11: Решим квадратное уравнение относительно y.
    Показать расчеты

    Используем дискриминант:

    \[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52\]\[y_3 = \frac{-6 + \sqrt{52}}{2} = -3 + \sqrt{13}\]\[y_4 = \frac{-6 - \sqrt{52}}{2} = -3 - \sqrt{13}\]
12. Шаг 12: Найдем соответствующие значения x.
    1. Если \( y = -3 + \sqrt{13} \), то \( x = 3 + \sqrt{13} \)
    2. Если \( y = -3 - \sqrt{13} \), то \( x = 3 - \sqrt{13} \)

Ответ: Система имеет четыре решения: \((2 + \sqrt{10}, -2 + \sqrt{10}), (2 - \sqrt{10}, -2 - \sqrt{10}), (3 + \sqrt{13}, -3 + \sqrt{13}), (3 - \sqrt{13}, -3 - \sqrt{13})\)