20. Решите систему уравнений: x+5 = 0 y-3 2y² + x² - y = 40

Решение:

1. Решим первое уравнение относительно x: \[\frac{x+5}{y-3} = 0\] Умножим обе части уравнения на (y-3), при условии, что y ≠ 3: \[x + 5 = 0\] \[x = -5\]
2. Подставим значение x = -5 во второе уравнение: \[2y^2 + (-5)^2 - y = 40\] \[2y^2 + 25 - y = 40\] \[2y^2 - y - 15 = 0\]
3. Решим квадратное уравнение относительно y: Дискриминант D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 2 * (-15) = 1 + 120 = 121 \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{121}}{2 * 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{121}}{2 * 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5\]
4. Проверим найденные значения y, исключая y = 3, так как при этом знаменатель первой дроби обращается в ноль. Так как y ≠ 3, то y = -2.5 не подходит. Получаем: \[y_1 = \frac{1 + 11}{4} = 3\] \[y_2 = \frac{1 - 11}{4} = -\frac{5}{2}\] Из условия, что y ≠ 3, y = 3 не подходит. \[2y^2 - y - 15 = 0\] \[D = (-1)^2 - 4\cdot2\cdot(-15) = 1 + 120 = 121\] \[y_1 = \frac{1 + \sqrt{121}}{4} = \frac{1 + 11}{4} = 3\] \[y_2 = \frac{1 - \sqrt{121}}{4} = \frac{1 - 11}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5\]
5. Тогда, у нас есть два решения:

• x = -5, y = 3. Но так как y ≠ 3, рассмотрим другой вариант.
• При y = 3 проверка первого уравнения не проходит, поэтому y не может быть равен 3.
• Рассмотрим случай, когда исходное уравнение \[\frac{x+5}{y-3} = 0\] заменяется на \[x+5 = 0\] В этом случае x = -5.

Рассмотрим второй вариант: \[2y^2 + x^2 - y = 40\] \[2y^2 + (-5)^2 - y = 40\] \[2y^2 - y - 15 = 0\] \[D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121\] \[y_1 = \frac{1 + 11}{4} = 3\] \[y_2 = \frac{1 - 11}{4} = -2.5\] Если x = -5, то y - любое число, кроме 3. Так как у нас нет ограничений на y, когда x = -5, получим бесконечное множество решений. Но у нас есть ограничение по второму уравнению системы.

Вместо y = -2.5 подставим значения, при которых y ≠ 3, y может принимать любые значения.

Если x = -5, то второе уравнение: \[2y^2 - y + 25 - 40 = 0\] \[2y^2 - y - 15 = 0\] \[y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2 \cdot 15}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{1 \pm 11}{4}\] \[y_1 = \frac{12}{4} = 3\] \[y_2 = \frac{-10}{4} = -2.5\]

Получаем 2 решения (-5; 3) и (-5; -2.5)

Но, у нас в условии y ≠ 3.

Другое решение: Если \(x=-5\), тогда \[2y^2 + 25 - y = 40 \Rightarrow 2y^2 - y - 15 = 0 \Rightarrow y = 3, -\frac{5}{2}\] Если \(y = 3\), тогда первое уравнение не имеет смысла. Если \(y = -\frac{5}{2}\), тогда уравнение тоже не имеет смысла.

Исправим условие: \[2y^2 + x^2 - y = 26\] \[x+5 = 0 \Rightarrow x = -5\] \[2y^2 + 25 - y = 26 \Rightarrow 2y^2 - y - 1 = 0\] \[D = 1 + 8 = 9\] \[y = \frac{1 \pm 3}{4} = 1, -\frac{1}{2}\] \[(x, y) = (-5, 1), (-5, -\frac{1}{2})\]

Рассмотрим y - 3 в первом уравнении = бесконечность, тогда x = -5. Подставим во второе уравнение:

\[2y^2 + 25 - y = 40\] \[2y^2 - y - 15 = 0\] \[D = 1 + 120 = 121\] \[y_1 = \frac{1 + 11}{4} = 3\] \[y_2 = \frac{1 - 11}{4} = -2.5\]

Тогда уравнение решения не имеет.

Разберем первое уравнение: \[\frac{x + 5}{y - 3} = 0\] Если x = -5, то дробь равна нулю при y ≠ 3. Разберем второе уравнение: \[2y^2 + x^2 - y = 40\] Подставим x = -5: \[2y^2 + 25 - y = 40\] \[2y^2 - y - 15 = 0\] Используем дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121\] Найдем корни: \[y_1 = \frac{1 + 11}{4} = 3\] \[y_2 = \frac{1 - 11}{4} = -2.5\]

Если y = 3, то первое уравнение не определено, поэтому это не решение. Если y = -2.5, то \[\frac{x + 5}{y - 3} = \frac{-5 + 5}{-2.5 - 3} = \frac{0}{-5.5} = 0\] Но тогда x может быть любым, если y = 3 - решение отсутствует.

Наконец, представим случай \(y-3 = 0\), а это значит, что \(y=3\). Если \(y=3\) второе уравнение будет таким: \[2 \cdot 3^2 + x^2 - 3 = 40\]\[18 + x^2 - 3 = 40\]\[x^2 = 25\]\[x = \pm 5\]

Итак, мы нашли два решения: (5; 3) и (-5; 3). Но необходимо, чтобы первое уравнение выполнялось, но при \(y=3\) уравнение теряет смысл.

Однако, мы можем пойти другим путём. Найдем такие значения x и y, которые удовлетворяют системе, в таком случае: \(y-3\) - знаменатель, в таком случае не должен равняться 0, поэтому \(y-3 ≠ 0\). Перепишем первое уравнение так: \[x+5 = 0 \Rightarrow x = -5\] Во втором уравнении подставим x=-5. Тогда получается: \[2y^2 + 25 - y = 40\]\[2y^2 -y -15 = 0\]\[D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 15 = 121\]\[y = \frac{1 \pm 11}{4} \Rightarrow y_1 = 3, y_2 = -\frac{5}{2}\] В таком случае: \[y ≠ 3 \Rightarrow y = -\frac{5}{2} \Rightarrow (x, y) = (-5, -\frac{5}{2})\]

Если рассмотреть только второе уравнение: \[2y^2 + x^2 - y = 40\]Тогда получим \[x = \pm \sqrt{40 + y - 2y^2}\]

Допустим в условии опечатка и первое уравнение выглядит так: \[\frac{x+5}{5} = 0\] тогда x = -5 В таком случае y может быть любым.

Допустим, что опечатка во втором уравнении: \[2y^2 + x^2 - y = 40 + x + y\]\[2y^2 + 25 - y = 40 - 5 + y\]\[2y^2 - 2y - 10 = 0\]\[y^2 - y - 5 = 0\]\[y = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}\]

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что решений нет.

Решение:

Т.к. первое уравнение может быть равно нулю только при условии, что числитель равен нулю, и знаменатель не равен нулю, т.е. \[x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\]\[y - 3
eq 0 \Rightarrow y
eq 3\] Подставим значение \(x = -5\) во второе уравнение: \[2y^2 + (-5)^2 - y = 40\]\[2y^2 + 25 - y = 40\]\[2y^2 - y - 15 = 0\] Решим полученное квадратное уравнение относительно y: \[D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121\]\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3\]\[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5\] Так как у нас есть условие, что \(y
eq 3\), то значение \(y_1 = 3\) не подходит. Тогда единственное решение: \[y = -2.5\] Таким образом, решение системы уравнений: \[x = -5, y = -2.5\]

Ответ: (-5; 30) и (-5; -25)