Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
70. Решите систему уравнений: 1) 27x-2y = 1/(32x+y), 3x-5y = 4; 2) 25x+y = 1/√5x-y, 3x - 2y = 6; 3) 3x - 22y = 17, 3x/2 + 2y = 17; 4)* u-(√5)v = v -(√5)u, u + v2 = 12.
Ответ:
Привет! Давай вместе решим эти системы уравнений. Они могут показаться сложными, но с моей помощью ты обязательно справишься!
1) Система уравнений:
\[\begin{cases}27^{x-2y} = \frac{1}{3^{2x+y}},\\3x - 5y = 4;\end{cases}\]
Преобразуем первое уравнение, используя свойства степеней:
\[\begin{cases}3^{3(x-2y)} = 3^{-(2x+y)},\\3x - 5y = 4;\end{cases}\]
Теперь мы можем приравнять показатели:
\[\begin{cases}3(x-2y) = -(2x+y),\\3x - 5y = 4;\end{cases}\]
Раскроем скобки и упростим:
\[\begin{cases}3x - 6y = -2x - y,\\3x - 5y = 4;\end{cases}\]
\[\begin{cases}5x - 5y = 0,\\3x - 5y = 4;\end{cases}\]
Из первого уравнения следует, что \( x = y \). Подставим это во второе уравнение:
\[3x - 5x = 4 \Rightarrow -2x = 4 \Rightarrow x = -2\]
Так как \( x = y \), то \( y = -2 \).
2) Система уравнений:
\[\begin{cases}25^{x+y} = \frac{1}{\sqrt{5^{5x-y}}},\\3x - 2y = 6;\end{cases}\]
Преобразуем первое уравнение:
\[\begin{cases}5^{2(x+y)} = 5^{-\frac{1}{2}(5x-y)},\\3x - 2y = 6;\end{cases}\]
Приравняем показатели:
\[\begin{cases}2(x+y) = -\frac{1}{2}(5x-y),\\3x - 2y = 6;\end{cases}\]
Раскроем скобки и упростим:
\[\begin{cases}4(x+y) = -(5x-y),\\3x - 2y = 6;\end{cases}\]
\[\begin{cases}4x + 4y = -5x + y,\\3x - 2y = 6;\end{cases}\]
\[\begin{cases}9x + 3y = 0,\\3x - 2y = 6;\end{cases}\]
Из первого уравнения следует, что \( y = -3x \). Подставим это во второе уравнение:
\[3x - 2(-3x) = 6 \Rightarrow 3x + 6x = 6 \Rightarrow 9x = 6 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\]
Тогда \( y = -3 \cdot \frac{2}{3} = -2 \).
3) Система уравнений:
\[\begin{cases}3x - 2^{2y} = 17,\\3^{\frac{x}{2}} + 2y = 17;\end{cases}\]
Пусть \( u = 3^{\frac{x}{2}} \), тогда \( x = 2 \log_3 u \). Пусть \( v = 2^y \), тогда \( y = \log_2 v \). Перепишем систему:
\[\begin{cases}3(2 \log_3 u) - v^2 = 17,\\u + 2 \log_2 v = 17;\end{cases}\]
Заметим, что если \( x = 6 \) и \( y = -1/2 \), то:
\[\begin{cases}3(6) - 2^{2(-1/2)} = 18 - 2^{-1} = 18 - 1/2 = 17.5
eq 17,\\3^{\frac{6}{2}} + 2(-1/2) = 3^3 - 1 = 27 - 1 = 26
eq 17;\end{cases}\] Предположим, что \( x=6 \) и \( y=0 \). Тогда: \[\begin{cases}3(6) - 2^{2(0)} = 18 - 1 = 17,\\3^{\frac{6}{2}} + 2(0) = 27 + 0 = 27
eq 17;\end{cases}\] К сожалению, аналитическое решение этой системы довольно сложное, и, скорее всего, потребуется использовать численные методы или графическое решение для нахождения точных значений \( x \) и \( y \). 4) Система уравнений: \[\begin{cases}u - (\sqrt{5})^v = v - (\sqrt{5})^u,\\u + v^2 = 12;\end{cases}\] Перепишем первое уравнение: \[u - v = (\sqrt{5})^v - (\sqrt{5})^u\] \[u - v = 5^{\frac{v}{2}} - 5^{\frac{u}{2}}\] Заметим, что если \( u = v \), то первое уравнение выполняется. Подставим \( u = v \) во второе уравнение: \[u + u^2 = 12 \Rightarrow u^2 + u - 12 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[(u+4)(u-3) = 0\] Итак, \( u = -4 \) или \( u = 3 \). Так как \( u = v \), то \( v = -4 \) или \( v = 3 \). Однако, если \( v = -4 \), то \( (\sqrt{5})^v \) не определено в вещественных числах. Следовательно, остается только вариант \( u = 3 \) и \( v = 3 \).
eq 17,\\3^{\frac{6}{2}} + 2(-1/2) = 3^3 - 1 = 27 - 1 = 26
eq 17;\end{cases}\] Предположим, что \( x=6 \) и \( y=0 \). Тогда: \[\begin{cases}3(6) - 2^{2(0)} = 18 - 1 = 17,\\3^{\frac{6}{2}} + 2(0) = 27 + 0 = 27
eq 17;\end{cases}\] К сожалению, аналитическое решение этой системы довольно сложное, и, скорее всего, потребуется использовать численные методы или графическое решение для нахождения точных значений \( x \) и \( y \). 4) Система уравнений: \[\begin{cases}u - (\sqrt{5})^v = v - (\sqrt{5})^u,\\u + v^2 = 12;\end{cases}\] Перепишем первое уравнение: \[u - v = (\sqrt{5})^v - (\sqrt{5})^u\] \[u - v = 5^{\frac{v}{2}} - 5^{\frac{u}{2}}\] Заметим, что если \( u = v \), то первое уравнение выполняется. Подставим \( u = v \) во второе уравнение: \[u + u^2 = 12 \Rightarrow u^2 + u - 12 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[(u+4)(u-3) = 0\] Итак, \( u = -4 \) или \( u = 3 \). Так как \( u = v \), то \( v = -4 \) или \( v = 3 \). Однако, если \( v = -4 \), то \( (\sqrt{5})^v \) не определено в вещественных числах. Следовательно, остается только вариант \( u = 3 \) и \( v = 3 \).
Ответ: 1) x = -2, y = -2; 2) x = 2/3, y = -2; 3) Требуется численный метод; 4) u = 3, v = 3
Ты проделал отличную работу! Решение таких систем требует внимательности и знания свойств степеней и логарифмов. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя обязательно всё получится! Молодец!