Решите систему уравнений: $$xy(x + y) = 6$$ $$xy + (x + y) = 5$$

Решим систему уравнений: $$xy(x + y) = 6$$ $$xy + (x + y) = 5$$

Введем переменные: $$u = xy$$ и $$v = x + y$$. Тогда система примет вид:

$$uv = 6$$ $$u + v = 5$$

Выразим $$v$$ из второго уравнения: $$v = 5 - u$$. Подставим в первое уравнение:

$$u(5 - u) = 6$$

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению:

$$5u - u^2 = 6$$

$$u^2 - 5u + 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение, используя теорему Виета. Найдем корни уравнения:

$$(u - 2)(u - 3) = 0$$

Отсюда, либо $$u = 2$$, либо $$u = 3$$.

Если $$u = 2$$, то $$v = 5 - 2 = 3$$. Если $$u = 3$$, то $$v = 5 - 3 = 2$$.

Случай 1: $$xy = 2$$ и $$x + y = 3$$. Выразим $$y$$ через $$x$$: $$y = 3 - x$$. Подставим в первое уравнение:

$$x(3 - x) = 2$$

$$3x - x^2 = 2$$

Приведем к квадратному уравнению:

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение, используя теорему Виета. Найдем корни уравнения:

$$(x - 1)(x - 2) = 0$$

Отсюда, либо $$x = 1$$, тогда $$y = 3 - 1 = 2$$, либо $$x = 2$$, тогда $$y = 3 - 2 = 1$$. Получаем решения: $$(1, 2)$$ и $$(2, 1)$$.

Случай 2: $$xy = 3$$ и $$x + y = 2$$. Выразим $$y$$ через $$x$$: $$y = 2 - x$$. Подставим в первое уравнение:

$$x(2 - x) = 3$$

$$2x - x^2 = 3$$

Приведем к квадратному уравнению:

$$x^2 - 2x + 3 = 0$$

Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$D = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8$$. Так как дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, система уравнений имеет только два решения.

Ответ: $$(1, 2)$$ и $$(2, 1)$$