Решите систему уравнений: {ya³-7x+12 = 1, x+y = 6.

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}y^2-7x+12 = 1 \\ x+y = 6\end{cases}$$

Выразим x через y из второго уравнения:

$$x = 6 - y$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$y^2 - 7(6-y) + 12 = 1$$ $$y^2 - 42 + 7y + 12 = 1$$ $$y^2 + 7y - 30 = 1$$ $$y^2 + 7y - 31 = 0$$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-31) = 49 + 124 = 173$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{173}}{2}$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{173}}{2}$$

Теперь найдем соответствующие значения x:

$$x_1 = 6 - y_1 = 6 - \frac{-7 + \sqrt{173}}{2} = \frac{12 + 7 - \sqrt{173}}{2} = \frac{19 - \sqrt{173}}{2}$$ $$x_2 = 6 - y_2 = 6 - \frac{-7 - \sqrt{173}}{2} = \frac{12 + 7 + \sqrt{173}}{2} = \frac{19 + \sqrt{173}}{2}$$

Теперь вычислим $$x^2 + y^2$$ для каждого решения:

1) Для $$x_1 = \frac{19 - \sqrt{173}}{2}$$ и $$y_1 = \frac{-7 + \sqrt{173}}{2}$$:

$$x_1^2 + y_1^2 = (\frac{19 - \sqrt{173}}{2})^2 + (\frac{-7 + \sqrt{173}}{2})^2$$ $$= \frac{361 - 38\sqrt{173} + 173}{4} + \frac{49 - 14\sqrt{173} + 173}{4}$$ $$= \frac{361 + 173 + 49 + 173 - 38\sqrt{173} - 14\sqrt{173}}{4}$$ $$= \frac{756 - 52\sqrt{173}}{4} = 189 - 13\sqrt{173} \approx 189 - 13(13.15) \approx 189 - 170.95 \approx 18.05$$

2) Для $$x_2 = \frac{19 + \sqrt{173}}{2}$$ и $$y_2 = \frac{-7 - \sqrt{173}}{2}$$:

$$x_2^2 + y_2^2 = (\frac{19 + \sqrt{173}}{2})^2 + (\frac{-7 - \sqrt{173}}{2})^2$$ $$= \frac{361 + 38\sqrt{173} + 173}{4} + \frac{49 + 14\sqrt{173} + 173}{4}$$ $$= \frac{361 + 173 + 49 + 173 + 38\sqrt{173} + 14\sqrt{173}}{4}$$ $$= \frac{756 + 52\sqrt{173}}{4} = 189 + 13\sqrt{173} \approx 189 + 13(13.15) \approx 189 + 170.95 \approx 359.95$$

Упростим первое уравнение:

$$y^2 - 7x + 12 = 1 \Rightarrow y^2 - 7x = -11$$

Выразим x из второго уравнения и подставим в первое:

$$x = 6 - y \Rightarrow y^2 - 7(6 - y) = -11$$ $$y^2 - 42 + 7y = -11 \Rightarrow y^2 + 7y - 31 = 0$$ $$x + y = 6 \Rightarrow x = 6 - y$$

$$x^2 + y^2 = (6-y)^2 + y^2 = 36 - 12y + y^2 + y^2 = 2y^2 - 12y + 36$$ Пусть y = 2 тогда x = 4 , следовательно 2*4 - 12*2 + 36 = 8 - 24 + 36 = 20

Ответ: 20