706. Решите систему уравнений: y-2x = 2, a) 5x²- y = 1; 3x² - 2y = 1, B) 2x - y = 1; 6) x-2y² = 2, 3x² + 2y² = 11, г) x + 2y = 3;

a)

Решим систему уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases}y - 2x = 2 \\ 5x^2 - y = 1\end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: y = 2x + 2

Подставим во второе уравнение: 5x² - (2x + 2) = 1

Раскроем скобки: 5x² - 2x - 2 = 1

Преобразуем: 5x² - 2x - 3 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = (-2)² - 4(5)(-3) = 4 + 60 = 64

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \pm 8}{10}\]

Получаем два значения для x: x₁ = (2 + 8)/10 = 1 x₂ = (2 - 8)/10 = -0.6

Найдем y для каждого значения x: y₁ = 2(1) + 2 = 4 y₂ = 2(-0.6) + 2 = 0.8

Ответ: x₁ = 1, y₁ = 4; x₂ = -0.6, y₂ = 0.8

б)

Решим систему уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases}x - 2y^2 = 2 \\ 3x^2 + 2y^2 = 11\end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = 2y² + 2

Подставим во второе уравнение: 3(2y² + 2)² + 2y² = 11

Раскроем скобки: 3(4y⁴ + 8y² + 4) + 2y² = 11

Упростим: 12y⁴ + 24y² + 12 + 2y² = 11

Приведем подобные: 12y⁴ + 26y² + 1 = 0

Решим биквадратное уравнение через замену: z = y²

12z² + 26z + 1 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = (26)² - 4(12)(1) = 676 - 48 = 628

\[z = \frac{-26 \pm \sqrt{628}}{2 \cdot 12} = \frac{-26 \pm 2\sqrt{157}}{24}\]

Получаем два значения для z: z₁ ≈ (-26 + 25.06)/24 ≈ -0.039 z₂ ≈ (-26 - 25.06)/24 ≈ -2.128

Найдем y для каждого значения z (учтем, что z = y²): y² ≈ -0.039 (не имеет действительных решений) y² ≈ -2.128 (не имеет действительных решений)

Так как нет действительных решений для y, нет решений и для x.

Ответ: Решений в действительных числах нет.

в)

Решим систему уравнений методом сложения:

\[\begin{cases}3x^2 - 2y = 1 \\ 2x - y = 1\end{cases}\]

Умножим второе уравнение на -2: -4x + 2y = -2

Сложим первое уравнение с умноженным вторым: 3x² - 2y + (-4x + 2y) = 1 + (-2)

Упростим: 3x² - 4x = -1

Преобразуем: 3x² - 4x + 1 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = (-4)² - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4

\[x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}\]

Получаем два значения для x: x₁ = (4 + 2)/6 = 1 x₂ = (4 - 2)/6 = 1/3

Найдем y для каждого значения x: y₁ = 2(1) - 1 = 1 y₂ = 2(1/3) - 1 = -1/3

Ответ: x₁ = 1, y₁ = 1; x₂ = 1/3, y₂ = -1/3

г)

Решим систему уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases}3x^2 + 2y^2 = 11 \\ x + 2y = 3\end{cases}\]

Выразим x из второго уравнения: x = 3 - 2y

Подставим в первое уравнение: 3(3 - 2y)² + 2y² = 11

Раскроем скобки: 3(9 - 12y + 4y²) + 2y² = 11

Упростим: 27 - 36y + 12y² + 2y² = 11

Приведем подобные: 14y² - 36y + 16 = 0

Разделим на 2: 7y² - 18y + 8 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = (-18)² - 4(7)(8) = 324 - 224 = 100

\[y = \frac{18 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{18 \pm 10}{14}\]

Получаем два значения для y: y₁ = (18 + 10)/14 = 2 y₂ = (18 - 10)/14 = 4/7

Найдем x для каждого значения y: x₁ = 3 - 2(2) = -1 x₂ = 3 - 2(4/7) = 13/7

Ответ: x₁ = -1, y₁ = 2; x₂ = 13/7, y₂ = 4/7