Решите системы уравнении № 1 xy = 12, y = 7-x xy = 5, x−y=4 x+y=9, x+y² = 6

Ответ: Система №1: x=3, y=4 и x=4, y=3; Система №2: x = 5, y = 1

Решение системы №1:

Дана система уравнений:

\[\begin{cases}xy = 12 \\y = 7 - x\end{cases}\]

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

\[x(7 - x) = 12\]

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению:

\[7x - x^2 = 12\] \[x^2 - 7x + 12 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\]

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

\[x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = 3\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

\[y_1 = 7 - x_1 = 7 - 4 = 3\] \[y_2 = 7 - x_2 = 7 - 3 = 4\]

Таким образом, решение системы:

\[\begin{cases}x_1 = 4, y_1 = 3 \\x_2 = 3, y_2 = 4\end{cases}\]

Решение системы №2:

Дана система уравнений:

\[\begin{cases}xy = 5 \\x - y = 4\end{cases}\]

Выразим x через y из второго уравнения:

\[x = y + 4\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[(y + 4)y = 5\]

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению:

\[y^2 + 4y = 5\] \[y^2 + 4y - 5 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = (4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\]

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

\[y_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1\] \[y_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

\[x_1 = y_1 + 4 = 1 + 4 = 5\] \[x_2 = y_2 + 4 = -5 + 4 = -1\]

Проверим решения, подставив их в первое уравнение системы:

Для (x_1=5, y_1=1): 5 * 1 = 5 (верно).

Для (x_2=-1, y_2=-5): -1 * -5 = 5 (верно).

Таким образом, решение системы:

\[\begin{cases}x_1 = 5, y_1 = 1 \\x_2 = -1, y_2 = -5\end{cases}\] \[\begin{cases}x = 5 \\y = 1\end{cases}\] \[\begin{cases}x = -1 \\y = -5\end{cases}\]

Ответ: Система №1: x=3, y=4 и x=4, y=3; Система №2: x = 5, y = 1