Решите системы уравнений: a) {3a + b - 1 = 0, 2a - 3b + 14 = 0; б) {5(x + y) - 3(x - y) = 1, 3(x + y) + 5(x - y) = 21.

Решение:

а) Система уравнений:

\( \begin{cases} 3a + b - 1 = 0 \\ 2a - 3b + 14 = 0 \end{cases} \)

1. Выразим \( b \) из первого уравнения: \( b = 1 - 3a \).
2. Подставим во второе уравнение: \( 2a - 3(1 - 3a) + 14 = 0 \).
3. Решим полученное уравнение: \( 2a - 3 + 9a + 14 = 0 \) \( 11a + 11 = 0 \) \( 11a = -11 \) \( a = -1 \).
4. Найдем \( b \): \( b = 1 - 3(-1) = 1 + 3 = 4 \).

б) Система уравнений:

\( \begin{cases} 5(x + y) - 3(x - y) = 1 \\ 3(x + y) + 5(x - y) = 21 \end{cases} \)

Введем замену: \( u = x + y \), \( v = x - y \).

Система примет вид:

\( \begin{cases} 5u - 3v = 1 \\ 3u + 5v = 21 \end{cases} \)

1. Умножим первое уравнение на 5, второе на 3:

\( \begin{cases} 25u - 15v = 5 \\ 9u + 15v = 63 \end{cases} \)

1. Сложим уравнения: \( 34u = 68 \) \( u = 2 \).
2. Подставим \( u = 2 \) в первое уравнение: \( 5(2) - 3v = 1 \) \( 10 - 3v = 1 \) \( -3v = -9 \) \( v = 3 \).
3. Вернемся к исходным переменным: \( x + y = 2 \) и \( x - y = 3 \).
4. Сложим эти уравнения: \( 2x = 5 \) \( x = 2.5 \).
5. Вычтем второе уравнение из первого: \( 2y = -1 \) \( y = -0.5 \).

Ответ: а) \( a = -1, b = 4 \); б) \( x = 2.5, y = -0.5 \).