Решите системы уравнений методом алгебраического сложения: a) { 2x + 5y = -8, 2x + 3y = -4; б) { -3x + 7y = 29, 6x + 5y = 13; в) { 3x + 7y = -5, 5x + 4y = 7.

Решение системы уравнений методом алгебраического сложения:

Общая идея метода: Мы хотим получить такое уравнение, в котором одна из переменных (x или y) исчезнет. Для этого мы умножим одно или оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.

а) Система 1:

• Дано:
• \[ \begin{cases} 2x + 5y = -8 \\ 2x + 3y = -4 \end{cases} \]
• Шаг 1: Заметим, что коэффициенты при 'x' одинаковые (2). Чтобы они стали противоположными, вычтем второе уравнение из первого.
• \[ (2x + 5y) - (2x + 3y) = -8 - (-4) \]
• \[ 2x + 5y - 2x - 3y = -8 + 4 \]
• \[ 2y = -4 \]
• Шаг 2: Найдем 'y'.
• \[ y = \frac{-4}{2} \]
• \[ y = -2 \]
• Шаг 3: Подставим значение 'y' в одно из исходных уравнений, чтобы найти 'x'. Возьмем первое уравнение:
• \[ 2x + 5(-2) = -8 \]
• \[ 2x - 10 = -8 \]
• \[ 2x = -8 + 10 \]
• \[ 2x = 2 \]
• \[ x = \frac{2}{2} \]
• \[ x = 1 \]
• Ответ для а): x = 1, y = -2

б) Система 2:

• Дано:
• \[ \begin{cases} -3x + 7y = 29 \\ 6x + 5y = 13 \end{cases} \]
• Шаг 1: Коэффициенты при 'x' (-3 и 6) нужно привести к противоположным. Умножим первое уравнение на 2.
• \[ 2 \cdot (-3x + 7y) = 2 \cdot 29 \]
• \[ -6x + 14y = 58 \]
• Теперь система выглядит так:
• \[ \begin{cases} -6x + 14y = 58 \\ 6x + 5y = 13 \end{cases} \]
• Шаг 2: Сложим оба уравнения, чтобы исключить 'x'.
• \[ (-6x + 14y) + (6x + 5y) = 58 + 13 \]
• \[ -6x + 14y + 6x + 5y = 71 \]
• \[ 19y = 71 \]
• Шаг 3: Найдем 'y'.
• \[ y = \frac{71}{19} \]
• Шаг 4: Подставим значение 'y' в одно из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение:
• \[ 6x + 5 \left( \frac{71}{19} \right) = 13 \]
• \[ 6x + \frac{355}{19} = 13 \]
• \[ 6x = 13 - \frac{355}{19} \]
• \[ 6x = \frac{13 \cdot 19 - 355}{19} \]
• \[ 6x = \frac{247 - 355}{19} \]
• \[ 6x = \frac{-108}{19} \]
• \[ x = \frac{-108}{19 \cdot 6} \]
• \[ x = \frac{-18}{19} \]
• Ответ для б): x = -18/19, y = 71/19

в) Система 3:

• Дано:
• \[ \begin{cases} 3x + 7y = -5 \\ 5x + 4y = 7 \end{cases} \]
• Шаг 1: Приведем коэффициенты при 'x' к противоположным. Умножим первое уравнение на 5, а второе — на -3.
• \[ 5 \cdot (3x + 7y) = 5 \cdot (-5) \implies 15x + 35y = -25 \]
• \[ -3 \cdot (5x + 4y) = -3 \cdot 7 \implies -15x - 12y = -21 \]
• Теперь система выглядит так:
• \[ \begin{cases} 15x + 35y = -25 \\ -15x - 12y = -21 \end{cases} \]
• Шаг 2: Сложим оба уравнения, чтобы исключить 'x'.
• \[ (15x + 35y) + (-15x - 12y) = -25 + (-21) \]
• \[ 15x + 35y - 15x - 12y = -25 - 21 \]
• \[ 23y = -46 \]
• Шаг 3: Найдем 'y'.
• \[ y = \frac{-46}{23} \]
• \[ y = -2 \]
• Шаг 4: Подставим значение 'y' в одно из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение:
• \[ 5x + 4(-2) = 7 \]
• \[ 5x - 8 = 7 \]
• \[ 5x = 7 + 8 \]
• \[ 5x = 15 \]
• \[ x = \frac{15}{5} \]
• \[ x = 3 \]
• Ответ для в): x = 3, y = -2