Решите системы уравнений методом подстановки 1) { 9x2 - y = 14x y = 9x - 14 2) {3x² + y = 4 2x²- y = 1 3) {x² + y² = 45 xy = 18 4) {x-2y = -8 x/4 + (y-2)/3 = -1 5) {3x - y = 10 x²+xy-y² = 20

Решение системы уравнений методом подстановки

1) \(\begin{cases} 9x^2 - y = 14x \\ y = 9x - 14 \end{cases}\)

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

\[9x^2 - (9x - 14) = 14x\] \[9x^2 - 9x + 14 = 14x\] \[9x^2 - 23x + 14 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-23)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 14 = 529 - 504 = 25\] \[x_1 = \frac{23 + \sqrt{25}}{2 \cdot 9} = \frac{23 + 5}{18} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}\] \[x_2 = \frac{23 - \sqrt{25}}{2 \cdot 9} = \frac{23 - 5}{18} = \frac{18}{18} = 1\]

Найдем соответствующие значения y:

\[y_1 = 9 \cdot \frac{14}{9} - 14 = 14 - 14 = 0\] \[y_2 = 9 \cdot 1 - 14 = 9 - 14 = -5\]

Ответ: \((\frac{14}{9}, 0), (1, -5)\)

2) \(\begin{cases} 3x^2 + y = 4 \\ 2x^2 - y = 1 \end{cases}\)

Сложим два уравнения:

\[3x^2 + y + 2x^2 - y = 4 + 1\] \[5x^2 = 5\] \[x^2 = 1\] \[x_1 = 1, \quad x_2 = -1\]

Найдем соответствующие значения y:

\[y_1 = 4 - 3x_1^2 = 4 - 3 \cdot 1^2 = 4 - 3 = 1\] \[y_2 = 4 - 3x_2^2 = 4 - 3 \cdot (-1)^2 = 4 - 3 = 1\]

Ответ: \((1, 1), (-1, 1)\)

3) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 45 \\ xy = 18 \end{cases}\)

Выразим y из второго уравнения: y = \(\frac{18}{x}\)

Подставим в первое уравнение:

\[x^2 + \left(\frac{18}{x}\right)^2 = 45\] \[x^2 + \frac{324}{x^2} = 45\] \[x^4 + 324 = 45x^2\] \[x^4 - 45x^2 + 324 = 0\]

Пусть t = x², тогда:

\[t^2 - 45t + 324 = 0\] \[D = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 324 = 2025 - 1296 = 729\] \[t_1 = \frac{45 + \sqrt{729}}{2} = \frac{45 + 27}{2} = \frac{72}{2} = 36\] \[t_2 = \frac{45 - \sqrt{729}}{2} = \frac{45 - 27}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

Найдем значения x:

\[x_1 = \sqrt{36} = 6, \quad x_2 = -6, \quad x_3 = \sqrt{9} = 3, \quad x_4 = -3\]

Найдем соответствующие значения y:

\[y_1 = \frac{18}{6} = 3, \quad y_2 = \frac{18}{-6} = -3, \quad y_3 = \frac{18}{3} = 6, \quad y_4 = \frac{18}{-3} = -6\]

Ответ: \((6, 3), (-6, -3), (3, 6), (-3, -6)\)

4) \(\begin{cases} x - 2y = -8 \\ \frac{x}{4} + \frac{y-2}{3} = -1 \end{cases}\)

Выразим x из первого уравнения: x = 2y - 8

Подставим во второе уравнение:

\[\frac{2y - 8}{4} + \frac{y - 2}{3} = -1\] \[\frac{2y - 8}{4} + \frac{y - 2}{3} + 1 = 0\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{3(2y - 8) + 4(y - 2) + 12}{12} = 0\] \[6y - 24 + 4y - 8 + 12 = 0\] \[10y - 20 = 0\] \[10y = 20\] \[y = 2\]

Найдем x:

\[x = 2y - 8 = 2 \cdot 2 - 8 = 4 - 8 = -4\]

Ответ: \((-4, 2)\)

5) \(\begin{cases} 3x - y = 10 \\ x^2 + xy - y^2 = 20 \end{cases}\)

Выразим y из первого уравнения: y = 3x - 10

Подставим во второе уравнение:

\[x^2 + x(3x - 10) - (3x - 10)^2 = 20\] \[x^2 + 3x^2 - 10x - (9x^2 - 60x + 100) = 20\] \[x^2 + 3x^2 - 10x - 9x^2 + 60x - 100 = 20\] \[-5x^2 + 50x - 120 = 0\] \[x^2 - 10x + 24 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4\] \[x_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[x_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

Найдем соответствующие значения y:

\[y_1 = 3 \cdot 6 - 10 = 18 - 10 = 8\] \[y_2 = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2\]

Ответ: \((6, 8), (4, 2)\)

Молодец! Ты отлично справился с решением систем уравнений методом подстановки. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!