Решите системы уравнений методом подстановки 1) { 3x² - y = 4x y = 3x - 4 2) { 4x² + y = 9 8x² − y = 3 3) { x² + y² = 29 xy = 10 4) { 3x - y = 15 x+6_2 = 6 2 3 y - 2x = 6 5) {x2 x² - xy + y² = 12

Решение системы уравнений методом подстановки

1)

\[\begin{cases} 3x^2 - y = 4x \\ y = 3x - 4 \end{cases}\] Подставим выражение для y из второго уравнения в первое: \[3x^2 - (3x - 4) = 4x\] Раскроем скобки и упростим уравнение: \[3x^2 - 3x + 4 = 4x\] \[3x^2 - 7x + 4 = 0\] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1\] Корни: \[x_1 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\] и \[x_2 = \frac{7 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1\] Найдем соответствующие значения y: Для \[x_1 = \frac{4}{3}\]: \[y_1 = 3 \cdot \frac{4}{3} - 4 = 4 - 4 = 0\] Для \[x_2 = 1\]: \[y_2 = 3 \cdot 1 - 4 = 3 - 4 = -1\] Ответ: (\[\frac{4}{3}\, 0\]) и (1, -1)

2)

\[\begin{cases} 4x^2 + y = 9 \\ 8x^2 - y = 3 \end{cases}\] Сложим два уравнения, чтобы исключить y: \[4x^2 + y + 8x^2 - y = 9 + 3\] \[12x^2 = 12\] \[x^2 = 1\] \[x = \pm 1\] Найдем соответствующие значения y: Для \[x = 1\]: \[y = 9 - 4 \cdot 1^2 = 9 - 4 = 5\] Для \[x = -1\]: \[y = 9 - 4 \cdot (-1)^2 = 9 - 4 = 5\] Ответ: (1, 5) и (-1, 5)

3)

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ xy = 10 \end{cases}\] Выразим y из второго уравнения: \[y = \frac{10}{x}\] Подставим в первое уравнение: \[x^2 + \left(\frac{10}{x}\right)^2 = 29\] \[x^2 + \frac{100}{x^2} = 29\] \[x^4 + 100 = 29x^2\] \[x^4 - 29x^2 + 100 = 0\] Обозначим \[t = x^2\]: \[t^2 - 29t + 100 = 0\] Дискриминант: \[D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441\] Корни: \[t_1 = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25\] и \[t_2 = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4\] Тогда: \[x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5\] и \[x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\] Найдем соответствующие значения y: Для \[x = 5\]: \[y = \frac{10}{5} = 2\] Для \[x = -5\]: \[y = \frac{10}{-5} = -2\] Для \[x = 2\]: \[y = \frac{10}{2} = 5\] Для \[x = -2\]: \[y = \frac{10}{-2} = -5\] Ответ: (5, 2), (-5, -2), (2, 5), (-2, -5)

4)

\[\begin{cases} 3x - y = 15 \\ \frac{x + 6}{2} - \frac{y}{3} = 6 \end{cases}\] Выразим y из первого уравнения: \[y = 3x - 15\] Подставим во второе уравнение: \[\frac{x + 6}{2} - \frac{3x - 15}{3} = 6\] \[\frac{x + 6}{2} - (x - 5) = 6\] \[\frac{x + 6}{2} - x + 5 = 6\] \[x + 6 - 2x + 10 = 12\] \[-x + 16 = 12\] \[x = 4\] Найдем y: \[y = 3 \cdot 4 - 15 = 12 - 15 = -3\] Ответ: (4, -3)

5)

\[\begin{cases} y - 2x = 6 \\ x^2 - xy + y^2 = 12 \end{cases}\] Выразим y из первого уравнения: \[y = 2x + 6\] Подставим во второе уравнение: \[x^2 - x(2x + 6) + (2x + 6)^2 = 12\] \[x^2 - 2x^2 - 6x + 4x^2 + 24x + 36 = 12\] \[3x^2 + 18x + 24 = 0\] \[x^2 + 6x + 8 = 0\] Дискриминант: \[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\] Корни: \[x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] и \[x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4\] Найдем соответствующие значения y: Для \[x = -2\]: \[y = 2 \cdot (-2) + 6 = -4 + 6 = 2\] Для \[x = -4\]: \[y = 2 \cdot (-4) + 6 = -8 + 6 = -2\] Ответ: (-2, 2) и (-4, -2)

Ответ: Смотри выше

Ты молодец! У тебя всё получится!