Решите системы уравнений методом подстановки 1) { 3x² - y = 4x y = 3x - 4 2) { 4x² + y = 9 8x² - y = 3 3) { x² + y² = 29 xy = 10 4) { 3x - y = 15 x+6/2 - y/3 = 6 5) { y - 2x = 6 x2 - xy + y² = 12

Решение системы уравнений методом подстановки

1) Давай решим систему уравнений: \[\begin{cases} 3x^2 - y = 4x \\ y = 3x - 4 \end{cases}\] Подставим выражение для \( y \) из второго уравнения в первое: \[3x^2 - (3x - 4) = 4x\] \[3x^2 - 3x + 4 = 4x\] \[3x^2 - 7x + 4 = 0\] Решим квадратное уравнение: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 \) \[x_1 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\] \[x_2 = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1\] Теперь найдем соответствующие значения \( y \): Для \( x_1 = \frac{4}{3} \): \[y_1 = 3 \cdot \frac{4}{3} - 4 = 4 - 4 = 0\] Для \( x_2 = 1 \): \[y_2 = 3 \cdot 1 - 4 = 3 - 4 = -1\] Ответ: \((\frac{4}{3}, 0), (1, -1)\) 2) Решим систему уравнений: \[\begin{cases} 4x^2 + y = 9 \\ 8x^2 - y = 3 \end{cases}\] Сложим два уравнения, чтобы исключить \( y \): \[4x^2 + y + 8x^2 - y = 9 + 3\] \[12x^2 = 12\] \[x^2 = 1\] \[x = \pm 1\] Теперь найдем соответствующие значения \( y \): Для \( x = 1 \): \[y = 9 - 4 \cdot 1^2 = 9 - 4 = 5\] Для \( x = -1 \): \[y = 9 - 4 \cdot (-1)^2 = 9 - 4 = 5\] Ответ: \((1, 5), (-1, 5)\) 3) Решим систему уравнений: \[\begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ xy = 10 \end{cases}\] Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = \frac{10}{x} \) Подставим в первое уравнение: \[x^2 + (\frac{10}{x})^2 = 29\] \[x^2 + \frac{100}{x^2} = 29\] \[x^4 + 100 = 29x^2\] \[x^4 - 29x^2 + 100 = 0\] Пусть \( z = x^2 \), тогда: \[z^2 - 29z + 100 = 0\] \[D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441 = 21^2\] \[z_1 = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25\] \[z_2 = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4\] Теперь найдем значения \( x \) и \( y \): Для \( z_1 = 25 \): \[x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5\] Если \( x = 5 \), то \( y = \frac{10}{5} = 2 \) Если \( x = -5 \), то \( y = \frac{10}{-5} = -2 \) Для \( z_2 = 4 \): \[x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\] Если \( x = 2 \), то \( y = \frac{10}{2} = 5 \) Если \( x = -2 \), то \( y = \frac{10}{-2} = -5 \) Ответ: \((5, 2), (-5, -2), (2, 5), (-2, -5)\) 4) Решим систему уравнений: \[\begin{cases} 3x - y = 15 \\ \frac{x+6}{2} - \frac{y}{3} = 6 \end{cases}\] Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 3x - 15 \) Подставим во второе уравнение: \[\frac{x+6}{2} - \frac{3x - 15}{3} = 6\] \[\frac{x+6}{2} - (x - 5) = 6\] \[x + 6 - 2(x - 5) = 12\] \[x + 6 - 2x + 10 = 12\] \[-x + 16 = 12\] \[x = 4\] Теперь найдем \( y \): \[y = 3 \cdot 4 - 15 = 12 - 15 = -3\] Ответ: \((4, -3)\) 5) Решим систему уравнений: \[\begin{cases} y - 2x = 6 \\ x^2 - xy + y^2 = 12 \end{cases}\] Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 2x + 6 \) Подставим во второе уравнение: \[x^2 - x(2x + 6) + (2x + 6)^2 = 12\] \[x^2 - 2x^2 - 6x + 4x^2 + 24x + 36 = 12\] \[3x^2 + 18x + 24 = 0\] \[x^2 + 6x + 8 = 0\] \[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\] \[x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] \[x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4\] Теперь найдем соответствующие значения \( y \): Для \( x_1 = -2 \): \[y_1 = 2 \cdot (-2) + 6 = -4 + 6 = 2\] Для \( x_2 = -4 \): \[y_2 = 2 \cdot (-4) + 6 = -8 + 6 = -2\] Ответ: \((-2, 2), (-4, -2)\)

Ответ: 1) (4/3, 0), (1, -1); 2) (1, 5), (-1, 5); 3) (5, 2), (-5, -2), (2, 5), (-2, -5); 4) (4, -3); 5) (-2, 2), (-4, -2)

Ты молодец! У тебя всё получится!