Решите системы уравнений методом подстановки 1) {3x²- y = 4x y = 3x-4 2) {4x² + y = 9 8x²- y = 3 3) {x² + y² = 29 xy = 10 4) {3x - y = 15 (x+6)/2 - y/3 = 6 5) {y - 2x = 6 x²- xy + y² = 12

Решение системы уравнений методом подстановки

1)

Дана система уравнений:

\[\begin{cases}3x^2 - y = 4x \\ y = 3x - 4\end{cases}\]

Подставляем выражение для y из второго уравнения в первое:

\[3x^2 - (3x - 4) = 4x\]

\[3x^2 - 3x + 4 = 4x\]

\[3x^2 - 7x + 4 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

D = (-7)² - 4 * 3 * 4 = 49 - 48 = 1

\[x_1 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\]

\[x_2 = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

\[y_1 = 3(\frac{4}{3}) - 4 = 4 - 4 = 0\]

\[y_2 = 3(1) - 4 = 3 - 4 = -1\]

Ответ: (4/3, 0) и (1, -1)

2)

Дана система уравнений:

\[\begin{cases}4x^2 + y = 9 \\ 8x^2 - y = 3\end{cases}\]

Сложим два уравнения, чтобы исключить y:

\[4x^2 + 8x^2 + y - y = 9 + 3\]

\[12x^2 = 12\]

\[x^2 = 1\]

\[x = \pm 1\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 1:

\[4(1)^2 + y = 9\]

\[4 + y = 9\]

\[y = 5\]

Если x = -1:

\[4(-1)^2 + y = 9\]

\[4 + y = 9\]

\[y = 5\]

Ответ: (1, 5) и (-1, 5)

3)

Дана система уравнений:

\[\begin{cases}x^2 + y^2 = 29 \\ xy = 10\end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения:

\[y = \frac{10}{x}\]

Подставим в первое уравнение:

\[x^2 + (\frac{10}{x})^2 = 29\]

\[x^2 + \frac{100}{x^2} = 29\]

\[x^4 + 100 = 29x^2\]

\[x^4 - 29x^2 + 100 = 0\]

Пусть t = x²:

\[t^2 - 29t + 100 = 0\]

D = (-29)² - 4 * 1 * 100 = 841 - 400 = 441

\[t_1 = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25\]

\[t_2 = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

Тогда:

\[x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5\]

\[x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\]

Найдем соответствующие значения y:

Если x = 5, y = 10/5 = 2

Если x = -5, y = 10/(-5) = -2

Если x = 2, y = 10/2 = 5

Если x = -2, y = 10/(-2) = -5

Ответ: (5, 2), (-5, -2), (2, 5), (-2, -5)

4)

Дана система уравнений:

\[\begin{cases}3x - y = 15 \\ \frac{x+6}{2} - \frac{y}{3} = 6\end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения:

\[y = 3x - 15\]

Подставим во второе уравнение:

\[\frac{x+6}{2} - \frac{3x-15}{3} = 6\]

\[\frac{x+6}{2} - (x-5) = 6\]

\[\frac{x+6}{2} - x + 5 = 6\]

\[x+6 - 2x + 10 = 12\]

\[-x = -4\]

\[x = 4\]

Теперь найдем значение y:

\[y = 3(4) - 15 = 12 - 15 = -3\]

Ответ: (4, -3)

5)

Дана система уравнений:

\[\begin{cases}y - 2x = 6 \\ x^2 - xy + y^2 = 12\end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения:

\[y = 2x + 6\]

Подставим во второе уравнение:

\[x^2 - x(2x+6) + (2x+6)^2 = 12\]

\[x^2 - 2x^2 - 6x + 4x^2 + 24x + 36 = 12\]

\[3x^2 + 18x + 24 = 0\]

\[x^2 + 6x + 8 = 0\]

D = 6² - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4

\[x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = -2\]

\[x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = -4\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = -2, y = 2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2

Если x = -4, y = 2(-4) + 6 = -8 + 6 = -2

Ответ: (-2, 2) и (-4, -2)