Решите системы уравнений методом подстановки 9x² - y = 14x 1) { y = 9x-14 2) { 3x² + y = 4 2x² - y = 1 3) (x² + y² = 45 xy = 18 x - 2y = -8 4) (x + y-2 = -1 4 3 3x - y = 10 5) (x2 + xy - y² = 20

Привет! Разберём эти системы уравнений методом подстановки. Поехали!

1)

Из второго уравнения системы выразим y и подставим в первое уравнение:

\[9x^2 - (9x - 14) = 14x\] \[9x^2 - 9x + 14 = 14x\] \[9x^2 - 23x + 14 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант:

\[D = (-23)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 14 = 529 - 504 = 25\]

Корни:

\[x_1 = \frac{23 + \sqrt{25}}{2 \cdot 9} = \frac{23 + 5}{18} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}\] \[x_2 = \frac{23 - \sqrt{25}}{2 \cdot 9} = \frac{23 - 5}{18} = \frac{18}{18} = 1\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 14/9:

\[y = 9 \cdot \frac{14}{9} - 14 = 14 - 14 = 0\]

Если x = 1:

\[y = 9 \cdot 1 - 14 = 9 - 14 = -5\]

Ответ: (14/9, 0) и (1, -5)

2)

Выразим y из первого уравнения и подставим во второе:

\[y = 4 - 3x^2\] \[2x^2 - (4 - 3x^2) = 1\] \[2x^2 - 4 + 3x^2 = 1\] \[5x^2 = 5\] \[x^2 = 1\] \[x = \pm 1\]

Найдем соответствующие значения y:

Если x = 1:

\[y = 4 - 3 \cdot 1^2 = 4 - 3 = 1\]

Если x = -1:

\[y = 4 - 3 \cdot (-1)^2 = 4 - 3 = 1\]

Ответ: (1, 1) и (-1, 1)

3)

Выразим y из второго уравнения и подставим в первое:

\[y = \frac{18}{x}\] \[x^2 + (\frac{18}{x})^2 = 45\] \[x^2 + \frac{324}{x^2} = 45\] \[x^4 + 324 = 45x^2\] \[x^4 - 45x^2 + 324 = 0\]

Обозначим z = x²:

\[z^2 - 45z + 324 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант:

\[D = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 324 = 2025 - 1296 = 729\]

Корни:

\[z_1 = \frac{45 + \sqrt{729}}{2} = \frac{45 + 27}{2} = \frac{72}{2} = 36\] \[z_2 = \frac{45 - \sqrt{729}}{2} = \frac{45 - 27}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

Теперь найдем x и y:

Если z = 36:

\[x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6\]

Если x = 6:

\[y = \frac{18}{6} = 3\]

Если x = -6:

\[y = \frac{18}{-6} = -3\]

Если z = 9:

\[x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\]

Если x = 3:

\[y = \frac{18}{3} = 6\]

Если x = -3:

\[y = \frac{18}{-3} = -6\]

Ответ: (6, 3), (-6, -3), (3, 6), (-3, -6)

4)

Выразим x из первого уравнения и подставим во второе:

\[x = 2y - 8\] \[\frac{2y - 8}{4} + \frac{y - 2}{3} = -1\]

Умножим обе части на 12:

\[3(2y - 8) + 4(y - 2) = -12\] \[6y - 24 + 4y - 8 = -12\] \[10y - 32 = -12\] \[10y = 20\] \[y = 2\]

Теперь найдем x:

\[x = 2 \cdot 2 - 8 = 4 - 8 = -4\]

Ответ: (-4, 2)

5)

Выразим y из первого уравнения и подставим во второе:

\[y = 3x - 10\] \[x^2 + x(3x - 10) - (3x - 10)^2 = 20\] \[x^2 + 3x^2 - 10x - (9x^2 - 60x + 100) = 20\] \[4x^2 - 10x - 9x^2 + 60x - 100 = 20\] \[-5x^2 + 50x - 120 = 0\] \[x^2 - 10x + 24 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант:

\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4\]

Корни:

\[x_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[x_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 6:

\[y = 3 \cdot 6 - 10 = 18 - 10 = 8\]

Если x = 4:

\[y = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2\]

Ответ: (6, 8) и (4, 2)