3. Решите системы уравнений способом сложения: a) {2x + y = 11 2x - y = 9 b) {5x-2y = 6 7x + 2y = 6 c) {4x+7y = 40 -4x+9y = 24 d) {a + 3b = 17 2b-a=13 e) {4m+3n=-15 5m-3n = -3 f) {2p-5q=1 4p-5q=7 g) {5y + x = 3 x+4y=2 h) {2k-3t = 6 k-3t = 9 m) {4x + 3y = -4 6x+5y = -7 n) {5y-4x = 22 3x+2y = 18 k) {7c = 9d 5c + 3d = 66 l) {5a + 6b = 0 3a + 5b = 4

a)

Сложим два уравнения: \[ \begin{cases} 2x + y = 11 \\ 2x - y = 9 \end{cases} \]

Получаем: \[ 4x = 20 \]

Отсюда: \[ x = 5 \]

Подставим значение x в первое уравнение: \[ 2(5) + y = 11 \]

\[ 10 + y = 11 \]

\[ y = 1 \]

b)

Сложим два уравнения: \[ \begin{cases} 5x - 2y = 6 \\ 7x + 2y = 6 \end{cases} \]

Получаем: \[ 12x = 12 \]

Отсюда: \[ x = 1 \]

Подставим значение x в первое уравнение: \[ 5(1) - 2y = 6 \]

\[ 5 - 2y = 6 \]

\[ -2y = 1 \]

\[ y = -\frac{1}{2} \]

c)

Сложим два уравнения: \[ \begin{cases} 4x + 7y = 40 \\ -4x + 9y = 24 \end{cases} \]

Получаем: \[ 16y = 64 \]

Отсюда: \[ y = 4 \]

Подставим значение y в первое уравнение: \[ 4x + 7(4) = 40 \]

\[ 4x + 28 = 40 \]

\[ 4x = 12 \]

\[ x = 3 \]

d)

Сложим два уравнения: \[ \begin{cases} a + 3b = 17 \\ 2b - a = 13 \end{cases} \]

Получаем: \[ 5b = 30 \]

Отсюда: \[ b = 6 \]

Подставим значение b в первое уравнение: \[ a + 3(6) = 17 \]

\[ a + 18 = 17 \]

\[ a = -1 \]

e)

Сложим два уравнения: \[ \begin{cases} 4m + 3n = -15 \\ 5m - 3n = -3 \end{cases} \]

Получаем: \[ 9m = -18 \]

Отсюда: \[ m = -2 \]

Подставим значение m в первое уравнение: \[ 4(-2) + 3n = -15 \]

\[ -8 + 3n = -15 \]

\[ 3n = -7 \]

\[ n = -\frac{7}{3} \]

f)

Умножим первое уравнение на -1 и сложим со вторым: \[ \begin{cases} 2p - 5q = 1 \\ 4p - 5q = 7 \end{cases} \implies \begin{cases} -2p + 5q = -1 \\ 4p - 5q = 7 \end{cases} \]

Получаем: \[ 2p = 6 \]

Отсюда: \[ p = 3 \]

Подставим значение p в первое уравнение: \[ 2(3) - 5q = 1 \]

\[ 6 - 5q = 1 \]

\[ -5q = -5 \]

\[ q = 1 \]

g)

Умножим первое уравнение на -4 и сложим со вторым: \[ \begin{cases} 5y + x = 3 \\ x + 4y = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} -20y - 4x = -12 \\ x + 4y = 2 \end{cases} \]

Преобразуем второе уравнение: \[ 4x + 16y = 8 \]

Сложим уравнения: \[ -20y - 4x + 4x + 16y = -12 + 8 \]

Получаем: \[ -4y = -4 \]

Отсюда: \[ y = 1 \]

Подставим значение y в первое уравнение: \[ 5(1) + x = 3 \]

\[ 5 + x = 3 \]

\[ x = -2 \]

h)

Умножим первое уравнение на -1 и сложим со вторым: \[ \begin{cases} 2k - 3t = 6 \\ k - 3t = 9 \end{cases} \implies \begin{cases} -2k + 3t = -6 \\ k - 3t = 9 \end{cases} \]

Умножим второе уравнение на 2: \[ 2k - 6t = 18 \]

Сложим уравнения: \[ -2k + 3t + 2k - 6t = -6 + 18 \]

Получаем: \[ -3t = 12 \]

Отсюда: \[ t = -4 \]

Подставим значение t в первое уравнение: \[ 2k - 3(-4) = 6 \]

\[ 2k + 12 = 6 \]

\[ 2k = -6 \]

\[ k = -3 \]

m)

Умножим первое уравнение на -5, второе на 3: \[ \begin{cases} 4x + 3y = -4 \\ 6x + 5y = -7 \end{cases} \implies \begin{cases} -20x - 15y = 20 \\ 18x + 15y = -21 \end{cases} \]

Сложим уравнения: \[ -20x - 15y + 18x + 15y = 20 - 21 \]

Получаем: \[ -2x = -1 \]

Отсюда: \[ x = \frac{1}{2} \]

Подставим значение x в первое уравнение: \[ 4(\frac{1}{2}) + 3y = -4 \]

\[ 2 + 3y = -4 \]

\[ 3y = -6 \]

\[ y = -2 \]

n)

Умножим первое уравнение на -2, второе на 5: \[ \begin{cases} 5y - 4x = 22 \\ 3x + 2y = 18 \end{cases} \implies \begin{cases} -10y + 8x = -44 \\ 15x + 10y = 90 \end{cases} \]

Сложим уравнения: \[ -10y + 8x + 15x + 10y = -44 + 90 \]

Получаем: \[ 23x = 46 \]

Отсюда: \[ x = 2 \]

Подставим значение x в первое уравнение: \[ 5y - 4(2) = 22 \]

\[ 5y - 8 = 22 \]

\[ 5y = 30 \]

\[ y = 6 \]

k)

Умножим первое уравнение на 5, второе на -7: \[ \begin{cases} 7c = 9d \\ 5c + 3d = 66 \end{cases} \implies \begin{cases} 35c = 45d \\ -35c - 21d = -462 \end{cases} \]

Сложим уравнения: \[ 35c - 35c = 45d - 21d = 462 \]

Получаем: \[ 24d = -462 \]

Отсюда: \[ d = -\frac{462}{24} = -\frac{77}{4} = -19.25 \]

Подставим значение d в первое уравнение: \[ 7c = 9(-\frac{77}{4}) \]

\[ c = \frac{9}{7}(-\frac{77}{4}) = -\frac{9 \cdot 11}{4} = -\frac{99}{4} = -24.75 \]

l)

Умножим первое уравнение на 3, второе на -5: \[ \begin{cases} 5a + 6b = 0 \\ 3a + 5b = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} 15a + 18b = 0 \\ -15a - 25b = -20 \end{cases} \]

Сложим уравнения: \[ 15a - 15a + 18b - 25b = 0 - 20 \]

Получаем: \[ -7b = -20 \]

Отсюда: \[ b = \frac{20}{7} \]

Подставим значение b в первое уравнение: \[ 5a + 6(\frac{20}{7}) = 0 \]

\[ 5a = -\frac{120}{7} \]

\[ a = -\frac{24}{7} \]

Ответ: a) x=5, y=1; b) x=1, y=-0.5; c) x=3, y=4; d) a=-1, b=6; e) m=-2, n=-7/3; f) p=3, q=1; g) x=-2, y=1; h) k=-3, t=-4; m) x=0.5, y=-2; n) x=2, y=6; k) c=-24.75, d=-19.25; l) a=-24/7, b=20/7