Решите системы уравнений: {\(\sqrt{x}\) - \(\sqrt{y}\) = 1;\ \(\sqrt{xy}\) = 2. {\(\sqrt{x}\) - \(\sqrt{y}\) = 1, \\ x - y = 3. {\(\sqrt[3]{x}\) - \(\sqrt[3]{y}\) = 3, \\ \(\sqrt[3]{x}\) + \(\sqrt[3]{y}\) = 5. {\(\sqrt[6]{x}\) + \(\sqrt[6]{y}\) = 3, \\ \(\sqrt{x}\) + \(\sqrt{y}\) = 9.

Решение систем уравнений:

Система 1:

• \[ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ \sqrt{xy} = 2 \end{cases} \]
• Возведем первое уравнение в квадрат: \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = 1^2 \) => \( x - 2\sqrt{xy} + y = 1 \).
• Подставим \( \sqrt{xy} = 2 \): \( x - 2(2) + y = 1 \) => \( x + y = 5 \).
• Теперь решаем систему: \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ \sqrt{xy} = 2 \end{cases} \] Возведем второе уравнение в квадрат: \( xy = 4 \).
• Решаем систему \(\{x+y=5, xy=4\}\). Это квадратное уравнение \( t^2 - 5t + 4 = 0 \), корни \( t=1 \) и \( t=4 \).
• Таким образом, решения: \( (x=1, y=4) \) и \( (x=4, y=1) \).
• Проверка: \( \sqrt{1} - \sqrt{4} = 1 - 2 = -1
  eq 1 \). \( \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1 \). \( \sqrt{4 \cdot 1} = \sqrt{4} = 2 \).
• Первое решение: (x=4, y=1)

Система 2:

• \[ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ x - y = 3 \end{cases} \]
• Разложим второе уравнение: \( (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 3 \).
• Подставим \( \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \): \( 1 \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 3 \) => \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \).
• Теперь решаем систему: \[ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \end{cases} \] Сложим уравнения: \( 2\sqrt{x} = 4 \) => \( \sqrt{x} = 2 \) => \( x = 4 \).
• Вычтем уравнения: \( -2\sqrt{y} = -2 \) => \( \sqrt{y} = 1 \) => \( y = 1 \).
• Решение: (x=4, y=1)

Система 3:

• \[ \begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 3 \\ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5 \end{cases} \]
• Сложим уравнения: \( 2\sqrt[3]{x} = 8 \) => \( \sqrt[3]{x} = 4 \) => \( x = 4^3 = 64 \).
• Вычтем уравнения: \( -2\sqrt[3]{y} = -2 \) => \( \sqrt[3]{y} = 1 \) => \( y = 1^3 = 1 \).
• Решение: (x=64, y=1)

Система 4:

• \[ \begin{cases} \sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y} = 3 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 9 \end{cases} \]
• Пусть \( a = \sqrt[6]{x} \) и \( b = \sqrt[6]{y} \). Тогда \( \sqrt{x} = a^3 \) и \( \sqrt{y} = b^3 \).
• Система примет вид: \[ \begin{cases} a + b = 3 \\ a^3 + b^3 = 9 \end{cases} \] Мы знаем, что \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \).
• Подставим известные значения: \( 9 = 3(a^2 - ab + b^2) \) => \( a^2 - ab + b^2 = 3 \).
• Из \( a + b = 3 \), возведем в квадрат: \( (a+b)^2 = 3^2 \) => \( a^2 + 2ab + b^2 = 9 \).
• Вычтем из \( a^2 + 2ab + b^2 = 9 \) уравнение \( a^2 - ab + b^2 = 3 \): \( 3ab = 6 \) => \( ab = 2 \).
• Теперь решаем систему \(\{a+b=3, ab=2\}\). Это квадратное уравнение \( t^2 - 3t + 2 = 0 \), корни \( t=1 \) и \( t=2 \).
• Возможные пары \( (a=1, b=2) \) и \( (a=2, b=1) \).
• Если \( a=1, b=2 \): \( \sqrt[6]{x} = 1 \) => \( x = 1 \). \( \sqrt[6]{y} = 2 \) => \( y = 2^6 = 64 \).
• Если \( a=2, b=1 \): \( \sqrt[6]{x} = 2 \) => \( x = 2^6 = 64 \). \( \sqrt[6]{y} = 1 \) => \( y = 1 \).
• Решения: (x=1, y=64) и (x=64, y=1)

Ответ: (4; 1), (4; 1), (64; 1), (1; 64), (64; 1)