Решите системы уравнений: в) \(\begin{cases}2x^2-3y^2=15,\\x^4-y^4=80;\end{cases}\) г) \(\begin{cases}x^2+y^2=10,\\x^4+y^4=82.\end{cases}\)

в) Обозначим \(a=x^2\), \(b=y^2\). Тогда \(a,b\geq 0\), а система принимает вид \(2a-3b=15\), \(a^2-b^2=80\).

1. Положим \(d=a-b\), \(s=a+b\). Тогда \(ds=80\), а \(2a-3b=(5d-s)/2=15\), то есть \(s=5d-30\).
2. Подставляем в \(ds=80\): \(d(5d-30)=80\), откуда \(d^2-6d-16=0\). Получаем \(d=8\) или \(d=-2\).
3. При \(d=8\) имеем \(s=10\), следовательно, \(a=(s+d)/2=9\), \(b=(s-d)/2=1\). При \(d=-2\) получаем \(s=-40\), что невозможно, поскольку \(a+b\geq0\).
4. Значит, \(x^2=9\), \(y^2=1\), поэтому \(x=\pm3\), \(y=\pm1\). Знаки выбираются независимо.

г) Обозначим \(a=x^2\), \(b=y^2\). Тогда \(a+b=10\) и \(a^2+b^2=82\).

1. Из \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) получаем \(100=82+2ab\), значит, \(ab=9\).
2. Числа \(a,b\) — корни уравнения \(t^2-10t+9=0\), то есть \((t-1)(t-9)=0\). Следовательно, \((a,b)=(9,1)\) или \((1,9)\).
3. Возвращаясь к переменным, получаем все сочетания \((x,y)=(\pm3,\pm1)\) или \((\pm1,\pm3)\), где знаки независимы.

Ответ: в) \((x,y)=(\pm3,\pm1)\); г) \((x,y)=(\pm3,\pm1)\) или \((\pm1,\pm3)\), со всеми независимыми сочетаниями знаков.