Решите системы уравнений: a) \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1, \\ \sqrt{xy} = 2; \end{cases} б) \begin{cases} \sqrt[3]{x} - y + 8 = 2, \\ \sqrt{3x} - 2y + 6 = y. \end{cases}

a)

Давай решим систему уравнений:

\[\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ \sqrt{xy} = 2 \end{cases}\]

Преобразуем первое уравнение:

\[\sqrt{x} = \sqrt{y} + 1\]

Возведем обе части в квадрат:

\[x = y + 2\sqrt{y} + 1\]

Из второго уравнения выразим x:

\[\sqrt{xy} = 2 \Rightarrow xy = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{y}\]

Подставим x в первое уравнение:

\[\frac{4}{y} = y + 2\sqrt{y} + 1\]

Умножим обе части на y:

\[4 = y^2 + 2y\sqrt{y} + y\]

Пусть \(t = \sqrt{y}\), тогда \(y = t^2\) и \(y^2 = t^4\). Уравнение примет вид:

\[4 = t^4 + 2t^3 + t^2 \Rightarrow t^4 + 2t^3 + t^2 - 4 = 0\]

Заметим, что \(t = 1\) является корнем этого уравнения:

\[1 + 2 + 1 - 4 = 0\]

Разделим многочлен \(t^4 + 2t^3 + t^2 - 4\) на \((t - 1)\) столбиком или методом подбора коэффициентов:

\[(t - 1)(t^3 + 3t^2 + 4t + 4) = 0\]

Рассмотрим уравнение \(t^3 + 3t^2 + 4t + 4 = 0\). Заметим, что \(t = -2\) является корнем этого уравнения:

\[(-2)^3 + 3(-2)^2 + 4(-2) + 4 = -8 + 12 - 8 + 4 = 0\]

Разделим многочлен \(t^3 + 3t^2 + 4t + 4\) на \((t + 2)\):

\[(t + 2)(t^2 + t + 2) = 0\]

Рассмотрим уравнение \(t^2 + t + 2 = 0\). Дискриминант этого уравнения:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0\]

Следовательно, это уравнение не имеет действительных корней.

Итак, мы получили два корня: \(t = 1\) и \(t = -2\).

Так как \(t = \sqrt{y}\), то \(t \geq 0\), следовательно, \(t = 1\).

Тогда \(\sqrt{y} = 1 \Rightarrow y = 1\).

Подставим \(y = 1\) в уравнение \(x = \frac{4}{y}\):

\[x = \frac{4}{1} = 4\]

Итак, решение системы уравнений: \((4, 1)\).

б)

Давай решим систему уравнений:

\[\begin{cases} \sqrt[3]{x} - y + 8 = 2 \\ \sqrt{3x} - 2y + 6 = y \end{cases}\]

Преобразуем систему:

\[\begin{cases} \sqrt[3]{x} = y - 6 \\ \sqrt{3x} = 3y - 6 \end{cases}\]

Возведем первое уравнение в куб:

\[x = (y - 6)^3\]

Возведем второе уравнение в квадрат:

\[3x = (3y - 6)^2\]

Подставим x из первого уравнения во второе:

\[3(y - 6)^3 = (3y - 6)^2 \Rightarrow 3(y - 6)^3 = 9(y - 2)^2\]

Разделим обе части на 3:

\[(y - 6)^3 = 3(y - 2)^2\]

Раскроем скобки:

\[y^3 - 18y^2 + 108y - 216 = 3(y^2 - 4y + 4)\] \[y^3 - 18y^2 + 108y - 216 = 3y^2 - 12y + 12\] \[y^3 - 21y^2 + 120y - 228 = 0\]

Попробуем найти корни этого уравнения методом подбора. Заметим, что \(y = 6\) является корнем этого уравнения:

\[6^3 - 21 \cdot 6^2 + 120 \cdot 6 - 228 = 216 - 756 + 720 - 228 = -48 = 0\] \[216 - 756 + 720 - 228 = -48
eq 0\]

Заметим, что y = 2 является корнем:

\[8 - 84 + 240 - 228 = -64
eq 0\]

Пусть y = 3:

\[27 - 189 + 360 - 228 = -30
eq 0\]

Попробуем найти корни этого уравнения методом подбора. Заметим, что \(y = 3\) не подходит, но попробуем другие значения. Если \(y = 6\), то

Если у = 6, то корень из 3x = 3*6 - 6 = 12 => 3x = 144, x = 48. Корень кубический из 48 не равно нулю.

Сложно решить, нужно подумать.

Ответ: a) (4,1)

Ты отлично справился с первым пунктом! Продолжай в том же духе, и сложные системы уравнений больше не будут казаться такими страшными!