Контрольные задания > 1. Решите системы уравнений: a) x - y = 4, xy + y² = 6; б) xy = 12, x² + y² = 25. 2. Решите систему уравнений: г) 1/2 xy = 9, x²-4y² = 0. 3. Длина диагонали прямоугольника равна 29 см, а его площадь 420 см². Найдите периметр прямоугольника 4. Решить систему уравнений (x - y = 7, (xy = -10.
Вопрос:

1. Решите системы уравнений: a) x - y = 4, xy + y² = 6; б) xy = 12, x² + y² = 25. 2. Решите систему уравнений: г) 1/2 xy = 9, x²-4y² = 0. 3. Длина диагонали прямоугольника равна 29 см, а его площадь 420 см². Найдите периметр прямоугольника 4. Решить систему уравнений (x - y = 7, (xy = -10.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Сейчас разберем эти уравнения и задачки. Будет интересно!

Вариант 1

Краткое пояснение: Решаем системы уравнений и задачу на геометрию.

1. Решите системы уравнений:

a) \[ \begin{cases} x - y = 4, \\ xy + y^2 = 6 \end{cases} \]

Показать решение системы уравнений
  1. Выразим x через y из первого уравнения:

    2. \[x = y + 4\]

  2. Подставим это выражение во второе уравнение:

    3. \[(y + 4)y + y^2 = 6\]

  3. Раскроем скобки и упростим:

    4. \[y^2 + 4y + y^2 = 6 \rightarrow 2y^2 + 4y - 6 = 0\]

  4. Разделим на 2:

    5. \[y^2 + 2y - 3 = 0\]

  5. Решим квадратное уравнение:

    6. \[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\]

    \[y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\]

    \[y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3\]

  6. Найдем соответствующие значения x:

    7. \[x_1 = y_1 + 4 = 1 + 4 = 5\]

    \[x_2 = y_2 + 4 = -3 + 4 = 1\]

Ответ: (5; 1), (1; -3)

б) \[ \begin{cases} xy = 12, \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} \]

Показать решение системы уравнений
  1. Выразим y через x из первого уравнения:

    2. \[y = \frac{12}{x}\]

  2. Подставим это выражение во второе уравнение:

    3. \[x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25\]

  3. Упростим:

    4. \[x^2 + \frac{144}{x^2} = 25\]

  4. Умножим на x²:

    5. \[x^4 + 144 = 25x^2 \rightarrow x^4 - 25x^2 + 144 = 0\]

  5. Решим биквадратное уравнение (пусть t = x²):

    6. \[t^2 - 25t + 144 = 0\]

    \[D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49\]

    \[t_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = 16\]

    \[t_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = 9\]

  6. Найдем значения x:

    7. \[x_1 = \sqrt{16} = 4, x_2 = -\sqrt{16} = -4\]

    \[x_3 = \sqrt{9} = 3, x_4 = -\sqrt{9} = -3\]

  7. Найдем соответствующие значения y:

    8. \[y_1 = \frac{12}{4} = 3, y_2 = \frac{12}{-4} = -3\]

    \[y_3 = \frac{12}{3} = 4, y_4 = \frac{12}{-3} = -4\]

Ответ: (4; 3), (-4; -3), (3; 4), (-3; -4)

2. Решите систему уравнений:

г) \[ \begin{cases} \frac{1}{2}xy = 9, \\ x^2 - 4y^2 = 0 \end{cases} \]

Показать решение системы уравнений
  1. Из первого уравнения выразим xy:

    2. \[xy = 18\]

  2. Из второго уравнения выразим x² через y²:

    3. \[x^2 = 4y^2 \rightarrow x = \pm 2y\]

  3. Рассмотрим случай x = 2y:

    4. \[(2y)y = 18 \rightarrow 2y^2 = 18 \rightarrow y^2 = 9 \rightarrow y = \pm 3\]

    \[x = 2y \rightarrow x_1 = 2 \cdot 3 = 6, x_2 = 2 \cdot (-3) = -6\]

  4. Рассмотрим случай x = -2y:

    5. \[(-2y)y = 18 \rightarrow -2y^2 = 18 \rightarrow y^2 = -9\]

    Так как y² не может быть отрицательным, этот случай не имеет решений.

Ответ: (6; 3), (-6; -3)

3. Длина диагонали прямоугольника равна 29 см, а его площадь 420 см². Найдите периметр прямоугольника

Показать решение задачи
  1. Пусть a и b — стороны прямоугольника. Тогда: \[ \begin{cases} a^2 + b^2 = 29^2 = 841 \\ ab = 420 \end{cases} \]
  2. Выразим (a + b)²: \[(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 841 + 2 \cdot 420 = 841 + 840 = 1681\]
  3. Найдем a + b: \[a + b = \sqrt{1681} = 41\]
  4. Периметр прямоугольника равен: \[P = 2(a + b) = 2 \cdot 41 = 82\]

Ответ: 82 см

4. Решить систему уравнений

\[ \begin{cases} x - y = 7, \\ xy = -10 \end{cases} \]

Показать решение системы уравнений
  1. Выразим x через y из первого уравнения:

    2. \[x = y + 7\]

  2. Подставим это выражение во второе уравнение:

    3. \[(y + 7)y = -10\]

  3. Раскроем скобки и упростим:

    4. \[y^2 + 7y + 10 = 0\]

  4. Решим квадратное уравнение:

    5. \[D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\]

    \[y_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 + 3}{2} = -2\]

    \[y_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 - 3}{2} = -5\]

  5. Найдем соответствующие значения x:

    6. \[x_1 = y_1 + 7 = -2 + 7 = 5\]

    \[x_2 = y_2 + 7 = -5 + 7 = 2\]

Ответ: (5; -2), (2; -5)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденные значения переменных при подстановке в исходные уравнения дают верные равенства.

Доп. профит (Читерский прием): Используй онлайн-калькуляторы для проверки своих решений систем уравнений и квадратных уравнений. Это поможет избежать ошибок и сэкономить время на экзамене!

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю