1. Решите системы уравнений: a) {x-y=4, xy + y² = 6; б) {xy = 12, x² + y² = 25. 2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности х² + y² = 20 и прямой х - у = 6 3. Решите систему уравнений: г) {1/2 xy = 9, x²-4y² = 0. 4. Длина диагонали прямоугольника равна 29 см, а его площадь 420 см². Найдите периметр прямоугольника Решить систему уравнений 5. {x - y = 7, xy = -10. 6. {1/x + 1/y = 5/6, x + y = 5.

Привет! Разберем эти уравнения вместе. Это будет интересно!

1. Решите системы уравнений:

a)

• Первое уравнение: \(x - y = 4\)
• Второе уравнение: \(xy + y^2 = 6\)

Пошаговое решение:

1. Выражаем \(x\) из первого уравнения:

\(x = y + 4\)

2. Подставляем вo второе уравнение:

\((y + 4)y + y^2 = 6\)

\(y^2 + 4y + y^2 = 6\)

\(2y^2 + 4y - 6 = 0\)

\(y^2 + 2y - 3 = 0\)

3. Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \(D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\)

Корни: \(y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = 1\), \(y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = -3\)

4. Находим соответствующие значения \(x\):

Если \(y_1 = 1\), то \(x_1 = 1 + 4 = 5\)

Если \(y_2 = -3\), то \(x_2 = -3 + 4 = 1\)

Ответ: (5; 1), (1; -3)

б)

• Первое уравнение: \(xy = 12\)
• Второе уравнение: \(x^2 + y^2 = 25\)

Пошаговое решение:

1. Выражаем \(y\) из первого уравнения:

\(y = \frac{12}{x}\)

2. Подставляем во второе уравнение:

\(x^2 + (\frac{12}{x})^2 = 25\)

\(x^2 + \frac{144}{x^2} = 25\)

\(x^4 + 144 = 25x^2\)

\(x^4 - 25x^2 + 144 = 0\)

3. Решаем биквадратное уравнение:

Пусть \(t = x^2\), тогда \(t^2 - 25t + 144 = 0\)

Дискриминант: \(D = 25^2 - 4(1)(144) = 625 - 576 = 49\)

Корни: \(t_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = 16\), \(t_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = 9\)

4. Находим значения \(x\):

Если \(t_1 = 16\), то \(x_1 = 4\), \(x_2 = -4\)

Если \(t_2 = 9\), то \(x_3 = 3\), \(x_4 = -3\)

5. Находим соответствующие значения \(y\):

Если \(x_1 = 4\), то \(y_1 = \frac{12}{4} = 3\)

Если \(x_2 = -4\), то \(y_2 = \frac{12}{-4} = -3\)

Если \(x_3 = 3\), то \(y_3 = \frac{12}{3} = 4\)

Если \(x_4 = -3\), то \(y_4 = \frac{12}{-3} = -4\)

Ответ: (4; 3), (-4; -3), (3; 4), (-3; -4)

2. Найдите координаты точек пересечения окружности и прямой:

• Уравнение окружности: \(x^2 + y^2 = 20\)
• Уравнение прямой: \(x - y = 6\)

Пошаговое решение:

1. Выражаем \(x\) из уравнения прямой:

\(x = y + 6\)

2. Подставляем в уравнение окружности:

\((y + 6)^2 + y^2 = 20\)

\(y^2 + 12y + 36 + y^2 = 20\)

\(2y^2 + 12y + 16 = 0\)

\(y^2 + 6y + 8 = 0\)

3. Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \(D = 6^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4\)

Корни: \(y_1 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2} = -2\), \(y_2 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2} = -4\)

4. Находим соответствующие значения \(x\):

Если \(y_1 = -2\), то \(x_1 = -2 + 6 = 4\)

Если \(y_2 = -4\), то \(x_2 = -4 + 6 = 2\)

Ответ: (4; -2), (2; -4)

3. Решите систему уравнений:

• Первое уравнение: \(\frac{1}{2}xy = 9\)
• Второе уравнение: \(x^2 - 4y^2 = 0\)

Пошаговое решение:

1. Выражаем \(xy\) из первого уравнения:

\(xy = 18\)

2. Разложим второе уравнение на множители:

\((x - 2y)(x + 2y) = 0\)

\(x = 2y\) или \(x = -2y\)

3. Рассмотрим случай \(x = 2y\):

\((2y)y = 18\)

\(2y^2 = 18\)

\(y^2 = 9\)

\(y_1 = 3\), \(y_2 = -3\)

4. Находим соответствующие значения \(x\):

Если \(y_1 = 3\), то \(x_1 = 2(3) = 6\)

Если \(y_2 = -3\), то \(x_2 = 2(-3) = -6\)

5. Рассмотрим случай \(x = -2y\):

\((-2y)y = 18\)

\(-2y^2 = 18\)

\(y^2 = -9\) (нет действительных решений)

Ответ: (6; 3), (-6; -3)

4. Найдите периметр прямоугольника:

• Длина диагонали: \(d = 29\) см
• Площадь: \(S = 420\) см²

Пошаговое решение:

1. Используем теорему Пифагора:

\(a^2 + b^2 = d^2\)

\(a^2 + b^2 = 29^2 = 841\)

2. Используем формулу площади:

\(ab = S = 420\)

3. Найдем \((a + b)^2\):

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 841 + 2(420) = 841 + 840 = 1681\)

4. Найдем \(a + b\):

\(a + b = \sqrt{1681} = 41\)

5. Периметр прямоугольника:

\(P = 2(a + b) = 2(41) = 82\) см

Ответ: 82 см

5. Решите систему уравнений:

• Первое уравнение: \(x - y = 7\)
• Второе уравнение: \(xy = -10\)

Пошаговое решение:

1. Выражаем \(x\) из первого уравнения:

\(x = y + 7\)

2. Подставляем во второе уравнение:

\((y + 7)y = -10\)

\(y^2 + 7y + 10 = 0\)

3. Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \(D = 7^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9\)

Корни: \(y_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2} = -2\), \(y_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2} = -5\)

4. Находим соответствующие значения \(x\):

Если \(y_1 = -2\), то \(x_1 = -2 + 7 = 5\)

Если \(y_2 = -5\), то \(x_2 = -5 + 7 = 2\)

Ответ: (5; -2), (2; -5)

6. Решите систему уравнений:

• Первое уравнение: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)
• Второе уравнение: \(x + y = 5\)

Пошаговое решение:

1. Приведем первое уравнение к общему знаменателю:

\(\frac{x + y}{xy} = \frac{5}{6}\)

2. Подставляем \(x + y = 5\):

\(\frac{5}{xy} = \frac{5}{6}\)

3. Находим \(xy\):

\(xy = 6\)

4. Решаем систему уравнений:

• \(x + y = 5\)
• \(xy = 6\)

Выражаем \(x\) из первого уравнения: \(x = 5 - y\)

Подставляем во второе уравнение: \((5 - y)y = 6\)

\(5y - y^2 = 6\)

\(y^2 - 5y + 6 = 0\)

5. Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\)

Корни: \(y_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3\), \(y_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = 2\)

6. Находим соответствующие значения \(x\):

Если \(y_1 = 3\), то \(x_1 = 5 - 3 = 2\)

Если \(y_2 = 2\), то \(x_2 = 5 - 2 = 3\)

Ответ: (2; 3), (3; 2)