1. Решите системы уравнений: a) {x-y = 4, x² + xy = 6; б) {4/x + 3/(y-1) = 7, 3x - y = 1. 2. Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь треугольника. 3. Решите систему уравнений: {(x-2)(y-1) = 30, 2x - y = 10. 4. Решить систему уравнений: {x + y = 4, x² - y² = 8.

Привет! Разберём эти задачки вместе! Сейчас всё решим!

Ответ: 1а

1. Выразим x через y из первого уравнения: \[x = y + 4\]
2. Подставим это выражение во второе уравнение: \[(y+4)^2 + (y+4)y = 6\]
3. Раскроем скобки и упростим: \[y^2 + 8y + 16 + y^2 + 4y = 6\] \[2y^2 + 12y + 10 = 0\] \[y^2 + 6y + 5 = 0\]
4. Решим квадратное уравнение относительно y: \[D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\] \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 4}{2} = -1\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 4}{2} = -5\]
5. Найдем соответствующие значения x: Если \[y_1 = -1\], то \[x_1 = -1 + 4 = 3\] Если \[y_2 = -5\], то \[x_2 = -5 + 4 = -1\]

Ответ: (3, -1) и (-1, -5)

Ответ: 1б

1. Выразим y через x из второго уравнения: \[y = 3x - 1\]
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \[\frac{4}{x} + \frac{3}{(3x - 1) - 1} = 7\] \[\frac{4}{x} + \frac{3}{3x - 2} = 7\]
3. Приведем к общему знаменателю и упростим: \[\frac{4(3x - 2) + 3x}{x(3x - 2)} = 7\] \[\frac{12x - 8 + 3x}{3x^2 - 2x} = 7\] \[15x - 8 = 7(3x^2 - 2x)\] \[15x - 8 = 21x^2 - 14x\] \[21x^2 - 29x + 8 = 0\]
4. Решим квадратное уравнение относительно x: \[D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 21 \cdot 8 = 841 - 672 = 169\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + 13}{42} = \frac{42}{42} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - 13}{42} = \frac{16}{42} = \frac{8}{21}\]
5. Найдем соответствующие значения y: Если \[x_1 = 1\], то \[y_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2\] Если \[x_2 = \frac{8}{21}\], то \[y_2 = 3 \cdot \frac{8}{21} - 1 = \frac{8}{7} - 1 = \frac{1}{7}\]

Ответ: (1, 2) и (8/21, 1/7)

Ответ: 2

1. Пусть a и b - катеты треугольника, где a > b. Тогда a - b = 23. Гипотенуза c = 37.
2. По теореме Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\]
3. Выразим a через b: \[a = b + 23\]
4. Подставим в теорему Пифагора: \[(b + 23)^2 + b^2 = 37^2\] \[b^2 + 46b + 529 + b^2 = 1369\] \[2b^2 + 46b - 840 = 0\] \[b^2 + 23b - 420 = 0\]
5. Решим квадратное уравнение относительно b: \[D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209\] \[b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 + 47}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 - 47}{2} = \frac{-70}{2} = -35\] (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)
6. Найдем a: \[a = 12 + 23 = 35\]
7. Найдем площадь треугольника: \[S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = 210\]

Ответ: 210 см²

Ответ: 3

1. Выразим y через x из второго уравнения: \[y = 2x - 10\]
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \[(x - 2)((2x - 10) - 1) = 30\] \[(x - 2)(2x - 11) = 30\]
3. Раскроем скобки и упростим: \[2x^2 - 11x - 4x + 22 = 30\] \[2x^2 - 15x - 8 = 0\]
4. Решим квадратное уравнение относительно x: \[D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{4} = \frac{32}{4} = 8\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\]
5. Найдем соответствующие значения y: Если \[x_1 = 8\], то \[y_1 = 2 \cdot 8 - 10 = 16 - 10 = 6\] Если \[x_2 = -\frac{1}{2}\], то \[y_2 = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) - 10 = -1 - 10 = -11\]

Ответ: (8, 6) и (-1/2, -11)

Ответ: 4

1. Разложим второе уравнение на множители, используя формулу разности квадратов: \[x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 8\]
2. Из первого уравнения известно, что \[x + y = 4\]
3. Подставим это значение во второе уравнение: \[4(x - y) = 8\] \[x - y = 2\]
4. Теперь у нас есть система уравнений: \[\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}\]
5. Сложим эти уравнения, чтобы найти x: \[2x = 6\] \[x = 3\]
6. Найдем y: \[3 + y = 4\] \[y = 1\]

Ответ: (3, 1)

Проверка за 10 секунд: Просто пересмотри все шаги решения. Убедись, что нигде не закралась ошибка в вычислениях или преобразованиях. Если всё сходится, то ты на верном пути!

Доп. профит: Уровень Эксперт: Если ты научишься решать такие задачи без ошибок, то сможешь с легкостью справляться с более сложными заданиями на контрольных и экзаменах. Это отличный способ повысить свою успеваемость и уверенность в своих силах!