Контрольные задания > 1. Решите системы уравнений: fx-y=4, a) (xy+y² = 6; xy=12, 6)(x+y² = 25. 2. Решите систему уравнений: г) 2xy=9, x²-4y² = 0. 3. Длина диагонали прямоугольника равна 29 см, а его площадь 420 см². Найдите периметр прямоугольника 4. Решить систему уравнений (x - y = 7, (xy = -10.
Вопрос:

1. Решите системы уравнений: fx-y=4, a) (xy+y² = 6; xy=12, 6)(x+y² = 25. 2. Решите систему уравнений: г) 2xy=9, x²-4y² = 0. 3. Длина диагонали прямоугольника равна 29 см, а его площадь 420 см². Найдите периметр прямоугольника 4. Решить систему уравнений (x - y = 7, (xy = -10.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Разберём эти задачки вместе. У тебя всё получится!

1. Решение систем уравнений:

a) \[\begin{cases}x - y = 4, \\xy + y^2 = 6.\end{cases}\]

Краткое пояснение: Выразим x через y из первого уравнения и подставим во второе.
Показать решение
  • Шаг 1: Выразим x через y из первого уравнения:

    • \[x = y + 4\]

  • Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение:

    • \[(y + 4)y + y^2 = 6\]

  • Шаг 3: Раскроем скобки и упростим:

    • \[y^2 + 4y + y^2 = 6\]

    \[2y^2 + 4y - 6 = 0\]

  • Шаг 4: Разделим на 2:

    • \[y^2 + 2y - 3 = 0\]

  • Шаг 5: Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:

    • \[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\]

  • Шаг 6: Найдем корни:

    • \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\]

    \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2} = -3\]

  • Шаг 7: Найдем соответствующие значения x:

    • Если \[y = 1\], то \[x = 1 + 4 = 5\]

    Если \[y = -3\], то \[x = -3 + 4 = 1\]

Ответ: (5; 1) и (1; -3)

Проверка за 10 секунд: Подставь полученные пары чисел в исходные уравнения, чтобы убедиться в их верности.
Доп. профит: Уровень Эксперт: Попробуй решить эту систему графически, построив графики обоих уравнений и найдя точки их пересечения.

б) \[\begin{cases}xy = 12, \\x^2 + y^2 = 25.\end{cases}\]

Краткое пояснение: Выразим y через x из первого уравнения и подставим во второе.
Показать решение
  • Шаг 1: Выразим y через x из первого уравнения:

    • \[y = \frac{12}{x}\]

  • Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение:

    • \[x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25\]

  • Шаг 3: Упростим:

    • \[x^2 + \frac{144}{x^2} = 25\]

  • Шаг 4: Умножим обе части на \[x^2\]:

    • \[x^4 + 144 = 25x^2\]

  • Шаг 5: Перенесем все в одну сторону:

    • \[x^4 - 25x^2 + 144 = 0\]

  • Шаг 6: Сделаем замену \[t = x^2\]:

    • \[t^2 - 25t + 144 = 0\]

  • Шаг 7: Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:

    • \[D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4(1)(144) = 625 - 576 = 49\]

  • Шаг 8: Найдем корни:

    • \[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 7}{2} = 16\]

    \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 7}{2} = 9\]

  • Шаг 9: Найдем соответствующие значения x:

    • Если \[t = 16\], то \[x^2 = 16\] и \[x = \pm 4\]

    Если \[t = 9\], то \[x^2 = 9\] и \[x = \pm 3\]

  • Шаг 10: Найдем соответствующие значения y:

    • Если \[x = 4\], то \[y = \frac{12}{4} = 3\]

    Если \[x = -4\], то \[y = \frac{12}{-4} = -3\]

    Если \[x = 3\], то \[y = \frac{12}{3} = 4\]

    Если \[x = -3\], то \[y = \frac{12}{-3} = -4\]

Ответ: (4; 3), (-4; -3), (3; 4), (-3; -4)

Проверка за 10 секунд: Подставь полученные пары чисел в исходные уравнения, чтобы убедиться в их верности.
Доп. профит: Редфлаг: Будь внимателен к знакам при извлечении квадратного корня. Не забывай про оба возможных знака.

2. Решите систему уравнений:

г) \[\begin{cases}\frac{1}{2}xy = 9, \\x^2 - 4y^2 = 0.\end{cases}\]

Краткое пояснение: Выразим xy из первого уравнения и разложим второе уравнение на множители.
Показать решение
  • Шаг 1: Выразим xy из первого уравнения:

    • \[xy = 18\]

  • Шаг 2: Разложим второе уравнение на множители:

    • \[(x - 2y)(x + 2y) = 0\]

  • Шаг 3: Получим два случая:

    • Случай 1: \[x = 2y\]

    Случай 2: \[x = -2y\]

  • Шаг 4: Рассмотрим случай 1:

    • Подставим \[x = 2y\] в \[xy = 18\]:

    \[(2y)y = 18\]

    \[2y^2 = 18\]

    \[y^2 = 9\]

    \[y = \pm 3\]

    Если \[y = 3\], то \[x = 2(3) = 6\]

    Если \[y = -3\], то \[x = 2(-3) = -6\]

  • Шаг 5: Рассмотрим случай 2:

    • Подставим \[x = -2y\] в \[xy = 18\]:

    \[(-2y)y = 18\]

    \[-2y^2 = 18\]

    \[y^2 = -9\]

    В этом случае нет действительных решений.

Ответ: (6; 3) и (-6; -3)

Проверка за 10 секунд: Подставь полученные пары чисел в исходные уравнения, чтобы убедиться в их верности.
Доп. профит: База: Разложение на множители помогает упростить уравнения и найти решения.

3. Задача про прямоугольник:

Длина диагонали прямоугольника равна 29 см, а его площадь 420 см². Найдите периметр прямоугольника.

Краткое пояснение: Используем теорему Пифагора и формулу площади прямоугольника, чтобы найти его стороны, а затем периметр.
Показать решение
  • Шаг 1: Обозначим стороны прямоугольника как a и b. Тогда:

    • \[a^2 + b^2 = 29^2\] (по теореме Пифагора)

    \[ab = 420\] (площадь прямоугольника)

  • Шаг 2: Выразим \[a^2 + b^2\] через \[ab\]:

    • \[(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\]

    \[(a + b)^2 = 29^2 + 2(420)\]

    \[(a + b)^2 = 841 + 840 = 1681\]

  • Шаг 3: Найдем \[a + b\]:

    • \[a + b = \sqrt{1681} = 41\]

  • Шаг 4: Периметр прямоугольника равен:

    • \[P = 2(a + b) = 2(41) = 82\]

Ответ: 82 см

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденный периметр соответствует заданным условиям (диагональ и площадь).
Доп. профит: Читерский прием: Зная диагональ и площадь, можно сразу найти полупериметр, используя формулу \[P = 2\sqrt{d^2 + 2S}\].

4. Решить систему уравнений:

\[\begin{cases}x - y = 7, \\xy = -10.\end{cases}\]

Краткое пояснение: Выразим x через y из первого уравнения и подставим во второе.
Показать решение
  • Шаг 1: Выразим x через y из первого уравнения:

    • \[x = y + 7\]

  • Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение:

    • \[(y + 7)y = -10\]

  • Шаг 3: Раскроем скобки и упростим:

    • \[y^2 + 7y = -10\]

    \[y^2 + 7y + 10 = 0\]

  • Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:

    • \[D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9\]

  • Шаг 5: Найдем корни:

    • \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 3}{2} = -2\]

    \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 3}{2} = -5\]

  • Шаг 6: Найдем соответствующие значения x:

    • Если \[y = -2\], то \[x = -2 + 7 = 5\]

    Если \[y = -5\], то \[x = -5 + 7 = 2\]

Ответ: (5; -2) и (2; -5)

Проверка за 10 секунд: Подставь полученные пары чисел в исходные уравнения, чтобы убедиться в их верности.
Доп. профит: Уровень Эксперт: Попробуй решить эту систему графически, построив графики обоих уравнений и найдя точки их пересечения.

Ответ: (5; -2) и (2; -5)

Молодец! У тебя всё получится!

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю