169. Решите системы уравнений: (x-3)(y-2) = 0, a) x+1 = 2; x+y-1 (x-1)(y+4) = 0, 6) x-3 = 3; x-y+2 г) 6+10y = x², 10y+y² = x² +3; 2 2 д) у² + х² = 13, д) ху = 6; B) 1+y=x², (y+y² = x²+8; e) y² + x² = 10, xy = 3.

Решение системы уравнений.

а)

\[\begin{cases} (x-3)(y-2) = 0 \\ \frac{x+1}{x+y-1} = 2 \end{cases}\]

Из первого уравнения следует, что либо x = 3, либо y = 2. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: x = 3

\[\frac{3+1}{3+y-1} = 2\]

\[\frac{4}{2+y} = 2\]

\[4 = 4 + 2y\]

\[2y = 0\]

\[y = 0\]

Итак, первое решение (3, 0).

Случай 2: y = 2

\[\frac{x+1}{x+2-1} = 2\]

\[\frac{x+1}{x+1} = 2\]

\[1 = 2\]

В этом случае уравнение не имеет решений.

б)

\[\begin{cases} (x-1)(y+4) = 0 \\ \frac{x-3}{x-y+2} = 3 \end{cases}\]

Из первого уравнения следует, что либо x = 1, либо y = -4. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: x = 1

\[\frac{1-3}{1-y+2} = 3\]

\[\frac{-2}{3-y} = 3\]

\[-2 = 9 - 3y\]

\[3y = 11\]

\[y = \frac{11}{3}\]

Итак, первое решение (1, 11/3).

Случай 2: y = -4

\[\frac{x-3}{x-(-4)+2} = 3\]

\[\frac{x-3}{x+6} = 3\]

\[x-3 = 3x + 18\]

\[-2x = 21\]

\[x = -\frac{21}{2}\]

Второе решение (-21/2, -4).

в)

\[\begin{cases} 1+y=x^2 \\ y+y^2 = x^2+8 \end{cases}\]

Из первого уравнения выразим x² и подставим во второе:

\[y+y^2 = 1+y+8\]

\[y^2 = 9\]

\[y = \pm 3\]

Если y = 3:

\[x^2 = 1+3 = 4\]

\[x = \pm 2\]

Если y = -3:

\[x^2 = 1-3 = -2\]

Решений нет.

Итак, решения (2, 3) и (-2, 3).

г)

\[\begin{cases} 6+10y = x^2 \\ 10y+y^2 = x^2 +3 \end{cases}\]

Выразим x² из первого уравнения и подставим во второе:

\[10y+y^2 = 6+10y+3\]

\[y^2 = 9\]

\[y = \pm 3\]

Если y = 3:

\[x^2 = 6+10\cdot 3 = 36\]

\[x = \pm 6\]

Если y = -3:

\[x^2 = 6+10\cdot (-3) = -24\]

Решений нет.

Итак, решения (6, 3) и (-6, 3).

д)

\[\begin{cases} y^2 + x^2 = 13 \\ xy = 6 \end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения: y = 6/x и подставим в первое:

\[(\frac{6}{x})^2 + x^2 = 13\]

\[\frac{36}{x^2} + x^2 = 13\]

\[36 + x^4 = 13x^2\]

\[x^4 - 13x^2 + 36 = 0\]

Пусть t = x², тогда t² - 13t + 36 = 0.

\[D = 13^2 - 4\cdot 36 = 169 - 144 = 25\]

\[t_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9, t_2 = \frac{13 - 5}{2} = 4\]

Если t = 9, то x² = 9, x = ±3. Если t = 4, то x² = 4, x = ±2.

x = 3, y = 6/3 = 2

x = -3, y = 6/(-3) = -2

x = 2, y = 6/2 = 3

x = -2, y = 6/(-2) = -3

Итак, решения (3, 2), (-3, -2), (2, 3), (-2, -3).

е)

\[\begin{cases} y^2 + x^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения: y = 3/x и подставим в первое:

\[(\frac{3}{x})^2 + x^2 = 10\]

\[\frac{9}{x^2} + x^2 = 10\]

\[9 + x^4 = 10x^2\]

\[x^4 - 10x^2 + 9 = 0\]

Пусть t = x², тогда t² - 10t + 9 = 0.

\[D = 10^2 - 4\cdot 9 = 100 - 36 = 64\]

\[t_1 = \frac{10 + 8}{2} = 9, t_2 = \frac{10 - 8}{2} = 1\]

Если t = 9, то x² = 9, x = ±3. Если t = 1, то x² = 1, x = ±1.

x = 3, y = 3/3 = 1

x = -3, y = 3/(-3) = -1

x = 1, y = 3/1 = 3

x = -1, y = 3/(-1) = -3

Итак, решения (3, 1), (-3, -1), (1, 3), (-1, -3).

Ответ: Решения указаны выше.

Ты отлично справился с заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!