Решите, составив математическую модель, следующую задачу. Теплоход прошёл 4 км против течения реки, а затем прошёл ещё 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

Обозначим собственную скорость теплохода за $$x$$ км/ч.

Тогда скорость теплохода против течения реки равна $$(x - 6,5)$$ км/ч, а по течению – $$(x + 6,5)$$ км/ч.

Время, затраченное на путь против течения, составляет $$\frac{4}{x - 6,5}$$ часов, а на путь по течению – $$\frac{33}{x + 6,5}$$ часов.

Общее время в пути составляет 1 час. Составим уравнение:

$$\frac{4}{x - 6,5} + \frac{33}{x + 6,5} = 1$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{4(x + 6,5) + 33(x - 6,5)}{(x - 6,5)(x + 6,5)} = 1$$

Раскроем скобки:

$$\frac{4x + 26 + 33x - 214,5}{x^2 - 42,25} = 1$$

Приведем подобные члены:

$$\frac{37x - 188,5}{x^2 - 42,25} = 1$$

Умножим обе части уравнения на $$x^2 - 42,25$$:

$$37x - 188,5 = x^2 - 42,25$$

Перенесем все члены в правую часть уравнения:

$$x^2 - 37x + 146,25 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-37)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 146,25 = 1369 - 585 = 784$$

$$x_1 = \frac{37 + \sqrt{784}}{2} = \frac{37 + 28}{2} = \frac{65}{2} = 32,5$$

$$x_2 = \frac{37 - \sqrt{784}}{2} = \frac{37 - 28}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$$

Так как собственная скорость теплохода должна быть больше скорости течения реки (6,5 км/ч), то корень $$x_2 = 4,5$$ не подходит.

Следовательно, собственная скорость теплохода равна 32,5 км/ч.

Ответ: 32,5 км/ч.