429. Решите способом подстановки систему уравнен a) y² – x = −1, x = y + 3; б) у = х − 1, x² - 2y = 26; в) xy + x = -4, x - y = 6; г) х + у = 9, y² + x = 29.

Решение системы уравнений способом подстановки

a)

Давай решим систему уравнений:

\[\begin{cases} y^2 - x = -1, \\ x = y + 3. \end{cases}\]

Подставим выражение для x из второго уравнения в первое:

\[y^2 - (y + 3) = -1\] \[y^2 - y - 3 = -1\] \[y^2 - y - 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Используем дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\] \[y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2\] \[y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для y = 2:

\[x = 2 + 3 = 5\]

Для y = -1:

\[x = -1 + 3 = 2\]

Таким образом, решения системы:

\[(5, 2), (2, -1)\]

б)

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} y = x - 1, \\ x^2 - 2y = 26. \end{cases}\]

Подставим выражение для y из первого уравнения во второе:

\[x^2 - 2(x - 1) = 26\] \[x^2 - 2x + 2 = 26\] \[x^2 - 2x - 24 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно x. Используем дискриминант:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\] \[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = 6\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 10}{2} = -4\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x = 6:

\[y = 6 - 1 = 5\]

Для x = -4:

\[y = -4 - 1 = -5\]

Таким образом, решения системы:

\[(6, 5), (-4, -5)\]

в)

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} xy + x = -4, \\ x - y = 6. \end{cases}\]

Выразим x через y из второго уравнения:

\[x = y + 6\]

Подставим выражение для x в первое уравнение:

\[(y + 6)y + (y + 6) = -4\] \[y^2 + 6y + y + 6 = -4\] \[y^2 + 7y + 10 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Используем дискриминант:

\[D = (7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (10) = 49 - 40 = 9\] \[y_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = -2\] \[y_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = -5\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для y = -2:

\[x = -2 + 6 = 4\]

Для y = -5:

\[x = -5 + 6 = 1\]

Таким образом, решения системы:

\[(4, -2), (1, -5)\]

г)

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 9, \\ y^2 + x = 29. \end{cases}\]

Выразим x через y из первого уравнения:

\[x = 9 - y\]

Подставим выражение для x во второе уравнение:

\[y^2 + (9 - y) = 29\] \[y^2 - y + 9 = 29\] \[y^2 - y - 20 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Используем дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\] \[y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = 5\] \[y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = -4\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для y = 5:

\[x = 9 - 5 = 4\]

Для y = -4:

\[x = 9 - (-4) = 13\]

Таким образом, решения системы:

\[(4, 5), (13, -4)\]

Ответ: a) (5, 2), (2, -1); б) (6, 5), (-4, -5); в) (4, -2), (1, -5); г) (4, 5), (13, -4)