391. Решите способом подстановки систему уравнений: a) {x² + y² = 12, xy = -6; б) {2x² - y² = 34, xy = 20.

a)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 12 \\ xy = -6 \end{cases}$$

Выразим y из второго уравнения:

$$y = -\frac{6}{x}$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 12$$ $$x^2 + \frac{36}{x^2} = 12$$

Умножим обе части уравнения на x²:

$$x^4 + 36 = 12x^2$$ $$x^4 - 12x^2 + 36 = 0$$

Введем новую переменную: t = x²

$$t^2 - 12t + 36 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t:

$$(t - 6)^2 = 0$$ $$t = 6$$

Теперь найдем x:

$$x^2 = 6$$ $$x = \pm\sqrt{6}$$

Найдем соответствующие значения y:

1. Если $$x = \sqrt{6}$$, то $$y = -\frac{6}{\sqrt{6}} = -\frac{6\sqrt{6}}{6} = -\sqrt{6}$$
2. Если $$x = -\sqrt{6}$$, то $$y = -\frac{6}{-\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$$

Ответ: ($$\sqrt{6}, -\sqrt{6}$$) и ($$-\sqrt{6}, \sqrt{6}$$)

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 34 \\ xy = 20 \end{cases}$$

Выразим y из второго уравнения:

$$y = \frac{20}{x}$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$2x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34$$ $$2x^2 - \frac{400}{x^2} = 34$$

Умножим обе части уравнения на x²:

$$2x^4 - 400 = 34x^2$$ $$2x^4 - 34x^2 - 400 = 0$$

Разделим уравнение на 2:

$$x^4 - 17x^2 - 200 = 0$$

Введем новую переменную: t = x²

$$t^2 - 17t - 200 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t:

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 289 + 800 = 1089$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$$ $$t_1 = \frac{17 + 33}{2} = \frac{50}{2} = 25$$ $$t_2 = \frac{17 - 33}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Так как x² не может быть отрицательным, то t₂ не подходит.

Теперь найдем x:

$$x^2 = 25$$ $$x = \pm 5$$

Найдем соответствующие значения y:

1. Если $$x = 5$$, то $$y = \frac{20}{5} = 4$$
2. Если $$x = -5$$, то $$y = \frac{20}{-5} = -4$$

Ответ: (5, 4) и (-5, -4)