702. Решите способом подстановки систему уравнений: a) {y² - x = -1, x = y + 3; б) {y = x - 1, x² - 2y = 26; в) {xy + x = -4, x - y = 6; г) {x + y = 9, y² + x = 29.

Решим системы уравнений способом подстановки.

a) \(\begin{cases} y^2 - x = -1 \\ x = y + 3 \end{cases}\)

Подставим выражение для x из второго уравнения в первое:

\(y^2 - (y + 3) = -1\)

\(y^2 - y - 3 = -1\)

\(y^2 - y - 2 = 0\)

Решим квадратное уравнение относительно y:

\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\)

\(y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2\)

\(y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1\)

Теперь найдем соответствующие значения x:

\(x_1 = y_1 + 3 = 2 + 3 = 5\)

\(x_2 = y_2 + 3 = -1 + 3 = 2\)

Ответ: \((5; 2), (2; -1)\)

б) \(\begin{cases} y = x - 1 \\ x^2 - 2y = 26 \end{cases}\)

Подставим выражение для y из первого уравнения во второе:

\(x^2 - 2(x - 1) = 26\)

\(x^2 - 2x + 2 = 26\)

\(x^2 - 2x - 24 = 0\)

Решим квадратное уравнение относительно x:

\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\)

\(x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = 6\)

\(x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 10}{2} = -4\)

Теперь найдем соответствующие значения y:

\(y_1 = x_1 - 1 = 6 - 1 = 5\)

\(y_2 = x_2 - 1 = -4 - 1 = -5\)

Ответ: \((6; 5), (-4; -5)\)

в) \(\begin{cases} xy + x = -4 \\ x - y = 6 \end{cases}\)

Выразим y из второго уравнения:

\(y = x - 6\)

Подставим выражение для y в первое уравнение:

\(x(x - 6) + x = -4\)

\(x^2 - 6x + x = -4\)

\(x^2 - 5x + 4 = 0\)

Решим квадратное уравнение относительно x:

\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\)

\(x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4\)

\(x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1\)

Теперь найдем соответствующие значения y:

\(y_1 = x_1 - 6 = 4 - 6 = -2\)

\(y_2 = x_2 - 6 = 1 - 6 = -5\)

Ответ: \((4; -2), (1; -5)\)

г) \(\begin{cases} x + y = 9 \\ y^2 + x = 29 \end{cases}\)

Выразим x из первого уравнения:

\(x = 9 - y\)

Подставим выражение для x во второе уравнение:

\(y^2 + (9 - y) = 29\)

\(y^2 - y + 9 = 29\)

\(y^2 - y - 20 = 0\)

Решим квадратное уравнение относительно y:

\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\)

\(y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = 5\)

\(y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = -4\)

Теперь найдем соответствующие значения x:

\(x_1 = 9 - y_1 = 9 - 5 = 4\)

\(x_2 = 9 - y_2 = 9 - (-4) = 13\)

Ответ: \((4; 5), (13; -4)\)