Контрольные задания > Решите треугольник ∆ABC, если: 1) BC=5√2 см, AC=4 см, ∠C=135° 2) AC=3√2 см, AB=2 см, ∠A=150° 3) ∠A=45°, ∠B=75°, AB=2√3 см 4) ∠B=30°, ∠C=105°, AC=4 см 5) BC=25 см, AC=20√2 см, ∠A=45°
Вопрос:

Решите треугольник ∆ABC, если: 1) BC=5√2 см, AC=4 см, ∠C=135° 2) AC=3√2 см, AB=2 см, ∠A=150° 3) ∠A=45°, ∠B=75°, AB=2√3 см 4) ∠B=30°, ∠C=105°, AC=4 см 5) BC=25 см, AC=20√2 см, ∠A=45°

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Сейчас разберем эти задачки по геометрии. Треугольники – это интересно, но иногда нужно немного покопаться, чтобы найти решение. Смотри, как это работает:

1) BC=5√2 см, AC=4 см, ∠C=135°

Краткое пояснение: Используем теорему косинусов, чтобы найти сторону AB, а затем теорему синусов для углов.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Находим сторону AB по теореме косинусов: \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos{C}\]\[AB^2 = 4^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos{135°}\]Тут \(\cos{135°} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому:\[AB^2 = 16 + 50 - 40\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})\]\[AB^2 = 66 + 40 = 106\]\[AB = \sqrt{106} \approx 10.3 \text{ см}\]
  2. Шаг 2: Находим угол A по теореме синусов:\[\frac{\sin{A}}{BC} = \frac{\sin{C}}{AB}\]\[\sin{A} = \frac{BC \cdot \sin{C}}{AB} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sin{135°}}{\sqrt{106}}\]Тут \(\sin{135°} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому:\[\sin{A} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{106}} = \frac{5}{\sqrt{106}} \approx 0.485\]\[A = \arcsin{0.485} \approx 29°\]
  3. Шаг 3: Находим угол B:\[B = 180° - A - C = 180° - 29° - 135° = 16°\]

Ответ: AB ≈ 10.3 см, ∠A ≈ 29°, ∠B ≈ 16°

2) AC=3√2 см, AB=2 см, ∠A=150°

Краткое пояснение: Используем теорему синусов, чтобы найти угол C, затем угол B, и, наконец, сторону BC.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Находим угол C по теореме синусов:\[\frac{\sin{C}}{AB} = \frac{\sin{A}}{BC}\]\[\sin{C} = \frac{AB \cdot \sin{A}}{AC} = \frac{2 \cdot \sin{150°}}{3\sqrt{2}}\]Тут \(\sin{150°} = \frac{1}{2}\), поэтому:\[\sin{C} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} \approx 0.236\]\[C = \arcsin{0.236} \approx 13.6°\]
  2. Шаг 2: Находим угол B:\[B = 180° - A - C = 180° - 150° - 13.6° = 16.4°\]
  3. Шаг 3: Находим сторону BC по теореме синусов:\[\frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AC}{\sin{B}}\]\[BC = \frac{AC \cdot \sin{A}}{\sin{B}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin{150°}}{\sin{16.4°}}\]Тут \(\sin{150°} = \frac{1}{2}\), поэтому:\[BC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\sin{16.4°}} \approx \frac{2.12}{0.282} \approx 7.52 \text{ см}\]

Ответ: ∠C ≈ 13.6°, ∠B ≈ 16.4°, BC ≈ 7.52 см

3) ∠A=45°, ∠B=75°, AB=2√3 см

Краткое пояснение: Найдем угол C, а затем используем теорему синусов для сторон AC и BC.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Находим угол C:\[C = 180° - A - B = 180° - 45° - 75° = 60°\]
  2. Шаг 2: Находим сторону AC по теореме синусов:\[\frac{AC}{\sin{B}} = \frac{AB}{\sin{C}}\]\[AC = \frac{AB \cdot \sin{B}}{\sin{C}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin{75°}}{\sin{60°}}\]Тут \(\sin{75°} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\), \(\sin{60°} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:\[AC = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \approx 3.15 \text{ см}\]
  3. Шаг 3: Находим сторону BC по теореме синусов:\[\frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AB}{\sin{C}}\]\[BC = \frac{AB \cdot \sin{A}}{\sin{C}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin{45°}}{\sin{60°}}\]Тут \(\sin{45°} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin{60°} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:\[BC = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \text{ см}\]

Ответ: ∠C = 60°, AC ≈ 3.15 см, BC ≈ 2.83 см

4) ∠B=30°, ∠C=105°, AC=4 см

Краткое пояснение: Находим угол A, а затем используем теорему синусов для сторон AB и BC.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Находим угол A:\[A = 180° - B - C = 180° - 30° - 105° = 45°\]
  2. Шаг 2: Находим сторону AB по теореме синусов:\[\frac{AB}{\sin{C}} = \frac{AC}{\sin{B}}\]\[AB = \frac{AC \cdot \sin{C}}{\sin{B}} = \frac{4 \cdot \sin{105°}}{\sin{30°}}\]Тут \(\sin{105°} = \sin{75°} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\), \(\sin{30°} = \frac{1}{2}\), поэтому:\[AB = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \approx 7.73 \text{ см}\]
  3. Шаг 3: Находим сторону BC по теореме синусов:\[\frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AC}{\sin{B}}\]\[BC = \frac{AC \cdot \sin{A}}{\sin{B}} = \frac{4 \cdot \sin{45°}}{\sin{30°}}\]Тут \(\sin{45°} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin{30°} = \frac{1}{2}\), поэтому:\[BC = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \text{ см}\]

Ответ: ∠A = 45°, AB ≈ 7.73 см, BC ≈ 5.66 см

5) BC=25 см, AC=20√2 см, ∠A=45°

Краткое пояснение: Используем теорему косинусов для нахождения стороны AB, а затем теорему синусов для угла C и B.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Находим сторону AB по теореме косинусов:\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{A}\]\[25^2 = AB^2 + (20\sqrt{2})^2 - 2 \cdot AB \cdot 20\sqrt{2} \cdot \cos{45°}\]Тут \(\cos{45°} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому:\[625 = AB^2 + 800 - 2 \cdot AB \cdot 20\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]\[AB^2 - 40AB + 175 = 0\]Решаем квадратное уравнение: \[AB = \frac{40 \pm \sqrt{40^2 - 4 \cdot 175}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 700}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{40 \pm 30}{2}\]\[AB_1 = 35, AB_2 = 5\]
  2. Шаг 2: Находим угол C по теореме синусов (берем AB = 5):\[\frac{\sin{C}}{AB} = \frac{\sin{A}}{BC}\]\[\sin{C} = \frac{AB \cdot \sin{A}}{BC} = \frac{5 \cdot \sin{45°}}{25}\]Тут \(\sin{45°} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому:\[\sin{C} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{25} = \frac{\sqrt{2}}{10} \approx 0.141\]\[C = \arcsin{0.141} \approx 8.1°\]
  3. Шаг 3: Находим угол B:\[B = 180° - A - C = 180° - 45° - 8.1° = 126.9°\]

Ответ: AB = 5 см, ∠C ≈ 8.1°, ∠B ≈ 126.9°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю