Решите треугольник АВС, если АС = 4√3, <C = 30°, BC = 8.

Разбираемся:

1. Найдем угол A, используя теорему синусов: \[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\] \[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C}\] \[\frac{8}{\sin A} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin 30^\circ}\] \[\sin A = \frac{8 \cdot \sin 30^\circ}{4\sqrt{3}} = \frac{8 \cdot 0.5}{4\sqrt{3}} = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\] \[A = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{3}) \approx 35.26^\circ\]
2. Найдем угол B:
   Показать решение

   \[A + B + C = 180^\circ\] \[B = 180^\circ - A - C\] \[B = 180^\circ - 35.26^\circ - 30^\circ \approx 114.74^\circ\]
3. Найдем сторону AB, используя теорему косинусов:
   Показать решение

   \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\] \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C}\] \[AB = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8 \cdot \cos 114.74^\circ}\] \[AB = \sqrt{48 + 64 - 64\sqrt{3} \cdot (-0.418)}\] \[AB = \sqrt{112 + 46.2}\] \[AB = \sqrt{158.2} \approx 12.58\]

Ответ: Углы треугольника: \( A \approx 35.26^\circ \), \( B \approx 114.74^\circ \), \( C = 30^\circ \). Сторона AB \(\approx 12.58\).

Проверка за 10 секунд: Сумма углов треугольника должна быть близка к 180°, и сторона AB должна быть рассчитана корректно с учетом теоремы косинусов.

Уровень Эксперт: Всегда проверяйте, чтобы полученные значения углов и сторон соответствовали общим свойствам треугольников. Больший угол должен лежать напротив большей стороны.