Решите треугольник АВС, если АВ = 4, BC = 5, AC = 6. Значения синусов, косинусов углов, взятых из таблицы Брадиса, округлите до сотых.

Решение:

Для решения треугольника ABC, зная все три стороны, применим теорему косинусов для нахождения углов.

1. Находим угол A:

По теореме косинусов: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \)

Подставляем известные значения:

\( 5^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos A \)

\( 25 = 16 + 36 - 48 \cdot \cos A \)

\( 25 = 52 - 48 \cdot \cos A \)

\( 48 \cdot \cos A = 52 - 25 \)

\( 48 \cdot \cos A = 27 \)

\( \cos A = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} \approx 0.5625 \)

Используя таблицу Брадиса (или калькулятор), находим угол A:

\( A = \arccos(0.5625) \approx 55.77^{\circ} \)

Значение косинуса угла A, округлённое до сотых: \( \cos A \approx 0.56 \)

2. Находим угол B:

По теореме косинусов: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \)

Подставляем известные значения:

\( 6^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos B \)

\( 36 = 16 + 25 - 40 \cdot \cos B \)

\( 36 = 41 - 40 \cdot \cos B \)

\( 40 \cdot \cos B = 41 - 36 \)

\( 40 \cdot \cos B = 5 \)

\( \cos B = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} = 0.125 \)

Используя таблицу Брадиса (или калькулятор), находим угол B:

\( B = \arccos(0.125) \approx 82.82^{\circ} \)

Значение косинуса угла B, округлённое до сотых: \( \cos B \approx 0.13 \)

3. Находим угол C:

Сумма углов треугольника равна 180°.

\( C = 180^{\circ} - A - B \approx 180^{\circ} - 55.77^{\circ} - 82.82^{\circ} \approx 41.41^{\circ} \)

Теперь найдём синус угла C:

\( \sin C = \sin(41.41^{\circ}) \approx 0.66 \)

Примечание: Можно также использовать теорему синусов после нахождения одного из углов, но для полноты и для округления до сотых, как указано в задании, расчет синуса/косинуса угла C по теореме косинусов или через сумму углов с последующим вычислением синуса является более прямым.

Если бы мы посчитали \( \cos C \) по теореме косинусов:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C \)

\( 4^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos C \)

\( 16 = 36 + 25 - 60 \cdot \cos C \)

\( 16 = 61 - 60 \cdot \cos C \)

\( 60 \cdot \cos C = 61 - 16 \)

\( 60 \cdot \cos C = 45 \)

\( \cos C = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} = 0.75 \)

\( C = \arccos(0.75) \approx 41.41^{\circ} \)

\( \sin C \approx \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - 0.75^2} = \sqrt{1 - 0.5625} = \sqrt{0.4375} \approx 0.6614 \)

Округляем до сотых: \( \sin C \approx 0.66 \)

4. Значения синусов и косинусов углов (округленные до сотых):

• \( \sin A \approx \sqrt{1 - 0.5625^2} \approx \sqrt{1 - 0.3164} \approx \sqrt{0.6836} \approx 0.83 \)
• \( \cos A \approx 0.56 \)
• \( \sin B \approx \sqrt{1 - 0.125^2} \approx \sqrt{1 - 0.0156} \approx \sqrt{0.9844} \approx 0.99 \)
• \( \cos B \approx 0.13 \)
• \( \sin C \approx 0.66 \)
• \( \cos C = 0.75 \)

Ответ: \( \cos A \approx 0.56 \), \( \sin A \approx 0.83 \); \( \cos B \approx 0.13 \), \( \sin B \approx 0.99 \); \( \cos C = 0.75 \), \( \sin C \approx 0.66 \).