Решите треугольник АВС, если угол В=30°, угол С=105°, АС=4 см.

Для решения треугольника ABC, нам нужно найти все неизвестные углы и стороны. У нас есть угол B = 30°, угол C = 105°, и сторона AC = 4 см.

1. Найдем угол A

   Сумма углов треугольника равна 180°. Значит:

   $$A = 180° - B - C = 180° - 30° - 105° = 45°$$

2. Найдем стороны AB и BC

   Воспользуемся теоремой синусов:

   $$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$$

   Мы знаем AC = 4 см, B = 30°, C = 105°, A = 45°.

   Тогда:

   $$\frac{4}{\sin 30°} = \frac{AB}{\sin 105°} = \frac{BC}{\sin 45°}$$

   Так как $$\sin 30° = \frac{1}{2}$$, то $$\frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$$

   Найдем AB:

   $$AB = 8 \cdot \sin 105°$$

   Так как $$\sin 105° = \sin (60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ≈ 0.966$$

   $$AB ≈ 8 \cdot 0.966 ≈ 7.73$$ см

   Найдем BC:

   $$BC = 8 \cdot \sin 45°$$

   Так как $$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} ≈ 0.707$$

   $$BC ≈ 8 \cdot 0.707 ≈ 5.66$$ см

Ответ: Угол A = 45°, сторона AB ≈ 7.73 см, сторона BC ≈ 5.66 см.