Решение треугольника

а) a = 9; b = 8; ∠B = 56°

Для решения треугольника используем теорему синусов:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Сначала найдем угол A:

$$\frac{9}{\sin A} = \frac{8}{\sin 56^\circ}$$
$$\sin A = \frac{9 \cdot \sin 56^\circ}{8} = \frac{9 \cdot 0.829}{8} \approx 0.932$$
$$A = \arcsin(0.932) \approx 68.74^\circ$$

Теперь найдем угол C:

$$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 68.74^\circ - 56^\circ \approx 55.26^\circ$$

Используем теорему синусов, чтобы найти сторону c:

$$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}$$
$$\frac{c}{\sin 55.26^\circ} = \frac{8}{\sin 56^\circ}$$
$$c = \frac{8 \cdot \sin 55.26^\circ}{\sin 56^\circ} = \frac{8 \cdot 0.821}{0.829} \approx 7.91$$

Ответ: A ≈ 68.74°; C ≈ 55.26°; c ≈ 7.91

б) ∠C = 130°; ∠B = 25°; b = 10

Найдем угол A:

$$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 25^\circ - 130^\circ = 25^\circ$$

Теперь найдем стороны a и c, используя теорему синусов:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$
$$\frac{a}{\sin 25^\circ} = \frac{10}{\sin 25^\circ}$$
$$a = 10$$
$$\frac{c}{\sin 130^\circ} = \frac{10}{\sin 25^\circ}$$
$$c = \frac{10 \cdot \sin 130^\circ}{\sin 25^\circ} = \frac{10 \cdot 0.766}{0.423} \approx 18.11$$

Ответ: A = 25°; a = 10; c ≈ 18.11

в) a = 5; b = 7; c = 9

Используем теорему косинусов для нахождения углов:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{7^2 + 9^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49 + 81 - 25}{126} = \frac{105}{126} = 0.833$$
$$A = \arccos(0.833) \approx 33.56^\circ$$
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$
$$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 9} = \frac{25 + 81 - 49}{90} = \frac{57}{90} = 0.633$$
$$B = \arccos(0.633) \approx 50.7^\circ$$

Найдем угол C:

$$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 33.56^\circ - 50.7^\circ \approx 95.74^\circ$$

Ответ: A ≈ 33.56°; B ≈ 50.7°; C ≈ 95.74°