Решите тригонометрические неравенства: sin x > -1/2; sin x < -1/2; cos x ≤ -√2/2; sin x < 1/2; cos x ≥ -√2/2.

Используем значения тригонометрических функций на единичной окружности и учитываем периодичность с периодом \(2\pi\).

1. \(\sin x>-\frac12\). Равенство достигается при \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\) и \(x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k\). Поэтому положительные значения нужного диапазона:

   \(x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi k;\frac{7\pi}{6}+2\pi k\right)\), \(k\in\mathbb Z\).

2. \(\sin x<-\frac12\). Значения меньше \(-\frac12\) находятся между углами \(\frac{7\pi}{6}\) и \(\frac{11\pi}{6}\):

   \(x\in\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi k;\frac{11\pi}{6}+2\pi k\right)\), \(k\in\mathbb Z\).

3. \(\cos x\le-\frac{\sqrt2}{2}\). Равенство достигается при \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\) и \(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k\). Так как знак неравенства нестрогий, концы включаются:

   \(x\in\left[\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\frac{5\pi}{4}+2\pi k\right]\), \(k\in\mathbb Z\).

4. \(\sin x<\frac12\). Значения меньше \(\frac12\) находятся между \(-\frac{5\pi}{6}\) и \(\frac{\pi}{6}\):

   \(x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\frac{\pi}{6}+2\pi k\right)\), \(k\in\mathbb Z\).

5. \(\cos x\ge-\frac{\sqrt2}{2}\). Значения косинуса не меньше \(-\frac{\sqrt2}{2}\) находятся вне промежутка \(\left(\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right)\), включая точки равенства:

   \(x\in\left[-\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\frac{3\pi}{4}+2\pi k\right]\), \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: 1) \(x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi k;\frac{7\pi}{6}+2\pi k\right)\); 2) \(x\in\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi k;\frac{11\pi}{6}+2\pi k\right)\); 3) \(x\in\left[\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\frac{5\pi}{4}+2\pi k\right]\); 4) \(x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\frac{\pi}{6}+2\pi k\right)\); 5) \(x\in\left[-\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\frac{3\pi}{4}+2\pi k\right]\), \(k\in\mathbb Z\).