Решите тригонометрические уравнение и неравенство: a) cos²x + 2sinx = 2 b) cos(x-π/4) <0

Решение:

а) cos²x + 2sinx = 2

1. Заменим \( \cos^2x \) на \( 1 - \sin^2x \), используя основное тригонометрическое тождество: \( 1 - \sin^2x + 2\sin x = 2 \)
2. Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \( \sin^2x - 2\sin x + 1 = 0 \)
3. Сделаем замену переменной: пусть \( y = \sin x \). Получим квадратное уравнение: \( y^2 - 2y + 1 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение. Это полный квадрат: \( (y - 1)^2 = 0 \)
5. Отсюда \( y = 1 \).
6. Вернёмся к замене: \( \sin x = 1 \)
7. Решением этого уравнения является \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

б) cos(x-π/4) <0

1. Рассмотрим единичную окружность. Косинус отрицателен во II и III четвертях.
2. Угол \( x - \frac{\pi}{4} \) должен находиться в интервале \( (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k) \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
3. Тогда \( \frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \)
4. Прибавим \( \frac{\pi}{4} \) ко всем частям неравенства: \( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)
5. Упростим: \( \frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \)

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \); б) \( \frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).