Контрольные задания > Решите тригонометрические уравнения: 1. 10cos² x - 17cos x + 6=0 2. 2cos² x + 5sin x + 5 = 0 3. 6sin² x + 13sin x cos x + 2cos² x = 0 4. 5 tg x - 4ctg x + 8 = 0 5. 6cos² x + 13sin 2x = -10 6. 2sin2 x + 6sin 2x = 7(1 + cos 2x)
Вопрос:

Решите тригонометрические уравнения: 1. 10cos² x - 17cos x + 6=0 2. 2cos² x + 5sin x + 5 = 0 3. 6sin² x + 13sin x cos x + 2cos² x = 0 4. 5 tg x - 4ctg x + 8 = 0 5. 6cos² x + 13sin 2x = -10 6. 2sin2 x + 6sin 2x = 7(1 + cos 2x)

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Разберем эти тригонометрические уравнения. Логика решения каждого уравнения будет заключаться в приведении к стандартному виду и нахождении решений. Поехали!

1. 10cos² x - 17cos x + 6 = 0

Краткое пояснение: Это квадратное уравнение относительно cos x.
  1. Замена: Пусть cos x = t. Тогда уравнение примет вид: 10t² - 17t + 6 = 0
  2. Решение квадратного уравнения:
    • D = (-17)² - 4 * 10 * 6 = 289 - 240 = 49
    • t₁ = (17 + √49) / (2 * 10) = (17 + 7) / 20 = 24 / 20 = 6 / 5 = 1.2
    • t₂ = (17 - √49) / (2 * 10) = (17 - 7) / 20 = 10 / 20 = 1 / 2 = 0.5
  3. Обратная замена:
    • cos x = 1.2 (невозможно, так как |cos x| ≤ 1)
    • cos x = 0.5
  4. Решение cos x = 0.5:
    • x = ±arccos(0.5) + 2πn, где n ∈ Z
    • x = ±π/3 + 2πn, где n ∈ Z

Ответ: x = ±π/3 + 2πn, где n ∈ Z

2. 2cos² x + 5sin x + 5 = 0

Краткое пояснение: Заменим cos² x на 1 - sin² x, чтобы получить уравнение относительно sin x.
  1. Замена: 2(1 - sin² x) + 5sin x + 5 = 0
  2. Упрощение: 2 - 2sin² x + 5sin x + 5 = 0
    • -2sin² x + 5sin x + 7 = 0
    • 2sin² x - 5sin x - 7 = 0
  3. Замена: Пусть sin x = t. Тогда уравнение примет вид: 2t² - 5t - 7 = 0
  4. Решение квадратного уравнения:
    • D = (-5)² - 4 * 2 * (-7) = 25 + 56 = 81
    • t₁ = (5 + √81) / (2 * 2) = (5 + 9) / 4 = 14 / 4 = 7 / 2 = 3.5
    • t₂ = (5 - √81) / (2 * 2) = (5 - 9) / 4 = -4 / 4 = -1
  5. Обратная замена:
    • sin x = 3.5 (невозможно, так как |sin x| ≤ 1)
    • sin x = -1
  6. Решение sin x = -1:
    • x = -π/2 + 2πn, где n ∈ Z

Ответ: x = -π/2 + 2πn, где n ∈ Z

3. 6sin² x + 13sin x cos x + 2cos² x = 0

Краткое пояснение: Разделим обе части уравнения на cos² x.
  1. Деление на cos² x:
    • 6tan² x + 13tan x + 2 = 0 (при условии, что cos x ≠ 0)
  2. Замена: Пусть tan x = t. Тогда уравнение примет вид: 6t² + 13t + 2 = 0
  3. Решение квадратного уравнения:
    • D = 13² - 4 * 6 * 2 = 169 - 48 = 121
    • t₁ = (-13 + √121) / (2 * 6) = (-13 + 11) / 12 = -2 / 12 = -1 / 6
    • t₂ = (-13 - √121) / (2 * 6) = (-13 - 11) / 12 = -24 / 12 = -2
  4. Обратная замена:
    • tan x = -1/6
    • tan x = -2
  5. Решения:
    • x = arctan(-1/6) + πn, где n ∈ Z
    • x = arctan(-2) + πn, где n ∈ Z

Ответ: x = arctan(-1/6) + πn, x = arctan(-2) + πn, где n ∈ Z

4. 5 tg x - 4ctg x + 8 = 0

Краткое пояснение: Выразим ctg x через tg x.
  1. Замена: ctg x = 1 / tg x. Тогда уравнение примет вид: 5tg x - 4 / tg x + 8 = 0
  2. Умножение на tg x:
    • 5tg² x + 8tg x - 4 = 0 (при условии, что tg x ≠ 0)
  3. Замена: Пусть tg x = t. Тогда уравнение примет вид: 5t² + 8t - 4 = 0
  4. Решение квадратного уравнения:
    • D = 8² - 4 * 5 * (-4) = 64 + 80 = 144
    • t₁ = (-8 + √144) / (2 * 5) = (-8 + 12) / 10 = 4 / 10 = 2 / 5 = 0.4
    • t₂ = (-8 - √144) / (2 * 5) = (-8 - 12) / 10 = -20 / 10 = -2
  5. Обратная замена:
    • tg x = 0.4
    • tg x = -2
  6. Решения:
    • x = arctan(0.4) + πn, где n ∈ Z
    • x = arctan(-2) + πn, где n ∈ Z

Ответ: x = arctan(0.4) + πn, x = arctan(-2) + πn, где n ∈ Z

5. 6cos² x + 13sin 2x = -10

Краткое пояснение: Выразим sin 2x через sin x и cos x, а также используем основное тригонометрическое тождество.
  1. Замена: sin 2x = 2sin x cos x. Тогда уравнение примет вид: 6cos² x + 13 * 2sin x cos x = -10
    • 6cos² x + 26sin x cos x + 10 = 0
    • 3cos² x + 13sin x cos x + 5 = 0
  2. Разделим на cos² x:
    • 3 + 13tan x + 5sec² x = 0 (при условии, что cos x ≠ 0)
    • 3 + 13tan x + 5(1 + tan² x) = 0
    • 5tan² x + 13tan x + 8 = 0
  3. Замена: Пусть tan x = t. Тогда уравнение примет вид: 5t² + 13t + 8 = 0
  4. Решение квадратного уравнения:
    • D = 13² - 4 * 5 * 8 = 169 - 160 = 9
    • t₁ = (-13 + √9) / (2 * 5) = (-13 + 3) / 10 = -10 / 10 = -1
    • t₂ = (-13 - √9) / (2 * 5) = (-13 - 3) / 10 = -16 / 10 = -8 / 5 = -1.6
  5. Обратная замена:
    • tan x = -1
    • tan x = -8/5
  6. Решения:
    • x = arctan(-1) + πn = -π/4 + πn, где n ∈ Z
    • x = arctan(-8/5) + πn, где n ∈ Z

Ответ: x = -π/4 + πn, x = arctan(-8/5) + πn, где n ∈ Z

6. 2sin² x + 6sin 2x = 7(1 + cos 2x)

Краткое пояснение: Выразим все через sin x и cos x.
  1. Замена: sin 2x = 2sin x cos x, cos 2x = cos² x - sin² x. Тогда уравнение примет вид:
    • 2sin² x + 6 * 2sin x cos x = 7(1 + cos² x - sin² x)
    • 2sin² x + 12sin x cos x = 7 + 7cos² x - 7sin² x
    • 9sin² x + 12sin x cos x - 7cos² x - 7 = 0
  2. Используем sin² x + cos² x = 1: 9sin² x + 12sin x cos x - 7cos² x - 7(sin² x + cos² x) = 0
    • 2sin² x + 12sin x cos x - 14cos² x = 0
    • sin² x + 6sin x cos x - 7cos² x = 0
  3. Разделим на cos² x:
    • tan² x + 6tan x - 7 = 0 (при условии, что cos x ≠ 0)
  4. Замена: Пусть tan x = t. Тогда уравнение примет вид: t² + 6t - 7 = 0
  5. Решение квадратного уравнения:
    • D = 6² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64
    • t₁ = (-6 + √64) / (2 * 1) = (-6 + 8) / 2 = 2 / 2 = 1
    • t₂ = (-6 - √64) / (2 * 1) = (-6 - 8) / 2 = -14 / 2 = -7
  6. Обратная замена:
    • tan x = 1
    • tan x = -7
  7. Решения:
    • x = arctan(1) + πn = π/4 + πn, где n ∈ Z
    • x = arctan(-7) + πn, где n ∈ Z

Ответ: x = π/4 + πn, x = arctan(-7) + πn, где n ∈ Z

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю