Решите тригонометрическое уравнение: 2 cos(x/2 - pi/6) = √3

Решение:

Данное уравнение является тригонометрическим.

1. Разделим обе части уравнения на 2: \[ \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
2. Обозначим переменную \( y = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \). Теперь уравнение имеет вид: \[ \cos(y) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
3. Известно, что \( \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Значит, решения для \( y \) следующие: \[ y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
4. Подставим обратно \( y = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \) и раскроем два случая:
• Случай 1: \( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
• \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
• \( \frac{x}{2} = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k \)
• \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)
• \( x = 2 \cdot \left(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right) \)
• \( x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)
• Случай 2: \( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
• \( \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
• \( \frac{x}{2} = 0 + 2\pi k \)
• \( \frac{x}{2} = 2\pi k \)
• \( x = 2 \cdot (2\pi k) \)
• \( x = 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: x = \(\frac{2\pi}{3} + 4\pi k\) или x = \(4\pi k\), где \( k \in \mathbb{Z} \).