Решите уравне a) x²-12 / x-3 = x / 3-x ; б) 2x² - 5x + 2 / x-2 = 4x + 1; в) 2x-3 / x - 1 / x + 2 = 4x-6 / x² + 2x

Решение уравнения a)

Прежде чем решать, заметим, что x ≠ 3. Умножим обе части уравнения на \[ (x - 3) \cdot (3 - x) \]:

\[\frac{x^2 - 12}{x - 3} = \frac{x}{3 - x}\]

\[(x^2 - 12)(3 - x) = x(x - 3)\]

\[3x^2 - x^3 - 36 + 12x = x^2 - 3x\]

\[-x^3 + 2x^2 + 15x - 36 = 0\]

\[x^3 - 2x^2 - 15x + 36 = 0\]

Разложим на множители. Заметим, что x = 3 является корнем (хотя и не входит в область определения исходного уравнения, но это не мешает нам использовать его для разложения): \[(x - 3)(x^2 + x - 12) = 0\]

\[(x - 3)(x + 4)(x - 3) = 0\]

\[(x - 3)^2 (x + 4) = 0\]

Таким образом, x = 3 (не подходит из-за ОДЗ) или x = -4.

Ответ: x = -4

Решение уравнения б)

Прежде чем решать, заметим, что x ≠ 2. Умножим обе части уравнения на (x - 2):

\[\frac{2x^2 - 5x + 2}{x - 2} = 4x + 1\]

\[2x^2 - 5x + 2 = (4x + 1)(x - 2)\]

\[2x^2 - 5x + 2 = 4x^2 - 8x + x - 2\]

\[2x^2 - 5x + 2 = 4x^2 - 7x - 2\]

\[0 = 2x^2 - 2x - 4\]

\[x^2 - x - 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\]

\[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2\] (не подходит, так как x ≠ 2)

\[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1\]

Ответ: x = -1

Решение уравнения в)

Прежде чем решать, заметим, что x ≠ 0 и x ≠ -2. Перепишем уравнение:

\[\frac{2x - 3}{x} - \frac{1}{x + 2} = \frac{4x - 6}{x^2 + 2x}\]

\[\frac{2x - 3}{x} - \frac{1}{x + 2} = \frac{4x - 6}{x(x + 2)}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{(2x - 3)(x + 2) - x}{x(x + 2)} = \frac{4x - 6}{x(x + 2)}\]

\[(2x - 3)(x + 2) - x = 4x - 6\]

\[2x^2 + 4x - 3x - 6 - x = 4x - 6\]

\[2x^2 - 4x = 0\]

\[2x(x - 2) = 0\]

Тогда x = 0 (не подходит из-за ОДЗ) или x = 2.

Ответ: x = 2