Решите уравнение: \frac{1}{x^2 - 2x + 1} + \frac{3}{x^2 - 2x - 7} + \frac{1}{2} = 0. Ведите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.

Уравнение имеет вид: \[\frac{1}{x^2 - 2x + 1} + \frac{3}{x^2 - 2x - 7} + \frac{1}{2} = 0\] Шаг 1: Преобразование уравнения Заметим, что x² - 2x + 1 = (x - 1)² . Введем новую переменную: y = x² - 2x . Тогда уравнение примет вид: \[\frac{1}{y + 1} + \frac{3}{y - 7} + \frac{1}{2} = 0\] Шаг 2: Приведение к общему знаменателю Умножим обе части уравнения на 2(y + 1)(y - 7) , чтобы избавиться от дробей: \[2(y - 7) + 6(y + 1) + (y + 1)(y - 7) = 0\] Шаг 3: Раскрытие скобок и упрощение Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[2y - 14 + 6y + 6 + y^2 - 7y + y - 7 = 0\] \[y^2 + 2y - 15 = 0\] Шаг 4: Решение квадратного уравнения Решим квадратное уравнение y² + 2y - 15 = 0 . Используем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64\] Тогда корни: \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{-2 + 8}{2} = 3\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{-2 - 8}{2} = -5\] Шаг 5: Возврат к исходной переменной Теперь вернемся к переменной x . У нас есть два значения для y : 1) y = 3: \[x^2 - 2x = 3\] \[x^2 - 2x - 3 = 0\] \[D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\] \[x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1\] 2) y = -5: \[x^2 - 2x = -5\] \[x^2 - 2x + 5 = 0\] \[D = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16\] Поскольку дискриминант отрицательный, действительных корней нет. Шаг 6: Проверка корней Проверим корни x = 3 и x = -1 на исходное уравнение. Заметим, что знаменатель x² - 2x + 1 равен (x - 1)² . Значит, x ≠ 1 . Подставим x = 3 : (3 - 1)² = 4 ≠ 0 Подставим x = -1 : (-1 - 1)² = 4 ≠ 0 Шаг 7: Запись ответа Таким образом, уравнение имеет два корня: 3 и -1.

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -1