Решите уравнение: \[\frac{x + 1}{3x + 2} = \frac{5x + 2}{4 - 3x}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Давай решим это уравнение по шагам! 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатели не должны быть равны нулю: * \(3x + 2
eq 0 \Rightarrow x
eq -\frac{2}{3}\) * \(4 - 3x
eq 0 \Rightarrow x
eq \frac{4}{3}\) 2. Умножим обе части уравнения на \((3x + 2)(4 - 3x)\) (общий знаменатель): \[(x + 1)(4 - 3x) = (5x + 2)(3x + 2)\] 3. Раскроем скобки: \[4x - 3x^2 + 4 - 3x = 15x^2 + 10x + 6x + 4\] 4. Упростим выражение: \[-3x^2 + x + 4 = 15x^2 + 16x + 4\] 5. Перенесем все в одну сторону: \[0 = 18x^2 + 15x\] 6. Вынесем общий множитель \(3x\): \[0 = 3x(6x + 5)\] 7. Найдем корни уравнения: * \(3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) * \(6x + 5 = 0 \Rightarrow 6x = -5 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{6}\) 8. Проверим корни на соответствие ОДЗ: Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как \(x_1 = 0\), \(x_2 = -\frac{5}{6}\) не равны \(-\frac{2}{3}\) и \(\frac{4}{3}\). 9. Выберем меньший корень: Сравним корни: \(0\) и \(-\frac{5}{6}\). Очевидно, что \(-\frac{5}{6}\) меньше.

Ответ: -\[\frac{5}{6}\]

Ты молодец! У тебя всё получится!