Решите уравнение: \frac{7}{x-3}+1=\frac{18}{x^2-6x+9}. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Ответ: -4

Решение:

Шаг 1: Преобразуем уравнение. Заметим, что x² - 6x + 9 = (x - 3)². Тогда уравнение принимает вид: \[\frac{7}{x-3}+1=\frac{18}{(x-3)^2}.\] Шаг 2: Приведем к общему знаменателю и сложим дроби. Домножим первую дробь на (x - 3), а единицу на (x - 3)²: \[\frac{7(x-3)}{(x-3)^2} + \frac{(x-3)^2}{(x-3)^2} = \frac{18}{(x-3)^2}.\] \[\frac{7(x-3) + (x-3)^2}{(x-3)^2} = \frac{18}{(x-3)^2}.\] Шаг 3: Упростим числитель. Раскроем скобки и приведем подобные члены в числителе: \[7x - 21 + x^2 - 6x + 9 = 18\] \[x^2 + x - 12 = 18\] Шаг 4: Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение. \[x^2 + x - 12 - 18 = 0\] \[x^2 + x - 30 = 0\] Шаг 5: Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: D = 1² - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121. Тогда корни уравнения: \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5,\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6.\] Шаг 6: Проверим корни. Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при этих значениях x. Знаменатель (x - 3)² обращается в ноль при x = 3, значит, этот корень не подходит. У нас корни 5 и -6. Однако, в условии опечатка, и уравнение имеет корни 5 и -6, a не 5 и -4. Поскольку x ≠ 3, оба корня x₁ = 5 и x₂ = -6 удовлетворяют условию. Шаг 7: Выберем меньший корень. Меньший корень из двух найденных: -6.

Ответ: -6