Решите уравнение: $$\frac{2x-9}{x-3} - \frac{x-1}{x+3} = 0$$

Начнем с решения уравнения: $$\frac{2x-9}{x-3} - \frac{x-1}{x+3} = 0$$. Сначала найдем общий знаменатель, который будет равен $$(x-3)(x+3)$$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{(2x-9)(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-3)} = 0$$ Раскроем скобки в числителях: $$\frac{2x^2 + 6x - 9x - 27}{x^2 - 9} - \frac{x^2 - 3x - x + 3}{x^2 - 9} = 0$$ $$\frac{2x^2 - 3x - 27}{x^2 - 9} - \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 9} = 0$$ Теперь объединим дроби: $$\frac{(2x^2 - 3x - 27) - (x^2 - 4x + 3)}{x^2 - 9} = 0$$ Раскроем скобки во втором числителе и приведем подобные члены: $$\frac{2x^2 - 3x - 27 - x^2 + 4x - 3}{x^2 - 9} = 0$$ $$\frac{x^2 + x - 30}{x^2 - 9} = 0$$ Для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю. Решим квадратное уравнение в числителе: $$x^2 + x - 30 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-30) = 1 + 120 = 121$$ Найдем корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$ Теперь проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при этих значениях: Если $$x = 5$$, то $$x^2 - 9 = 5^2 - 9 = 25 - 9 = 16
eq 0$$. Если $$x = -6$$, то $$x^2 - 9 = (-6)^2 - 9 = 36 - 9 = 27
eq 0$$. Оба корня удовлетворяют условию, что знаменатель не равен нулю. Таким образом, уравнение имеет два корня: $$x_1 = 5$$ и $$x_2 = -6$$. Теперь ответим на вопросы: * Сколько корней имеет уравнение? Ответ: 2 * Найдите произведение корней уравнения. Ответ: -30