Решите уравнение \sqrt{3x^2+5x-2}=3x-1

Решим уравнение $$\sqrt{3x^2+5x-2}=3x-1$$.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   • Под знаком квадратного корня должно быть неотрицательное выражение: $$3x^2+5x-2 \geq 0$$.
   • Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как квадратный корень всегда неотрицателен: $$3x-1 \geq 0$$.
2. Решим неравенство $$3x^2+5x-2 \geq 0$$.
   • Найдем корни квадратного уравнения $$3x^2+5x-2 = 0$$.
   • Вычислим дискриминант: $$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$.
   • Найдем корни: $$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5-7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$, $$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5+7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$.
   • Решением неравенства являются интервалы $$(-\infty; -2] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$$.
3. Решим неравенство $$3x-1 \geq 0$$.
   • $$3x \geq 1$$
   • $$x \geq \frac{1}{3}$$
4. Учитывая оба условия, получаем ОДЗ: $$x \geq \frac{1}{3}$$.
5. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
   • $$(\sqrt{3x^2+5x-2})^2 = (3x-1)^2$$
   • $$3x^2+5x-2 = 9x^2 - 6x + 1$$
6. Перенесем все члены в одну сторону:
   • $$0 = 6x^2 - 11x + 3$$
   • $$6x^2 - 11x + 3 = 0$$
7. Решим квадратное уравнение $$6x^2 - 11x + 3 = 0$$.
   • Вычислим дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 - 72 = 49$$.
   • Найдем корни: $$x_1 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{11-7}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$, $$x_2 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{11+7}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$$.
8. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ:
   • $$x_1 = \frac{1}{3}$$. Подставляем в исходное уравнение:
     • $$\sqrt{3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 5 \cdot \frac{1}{3} - 2} = 3 \cdot \frac{1}{3} - 1$$
     • $$\sqrt{\frac{3}{9} + \frac{5}{3} - 2} = 1 - 1$$
     • $$\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - \frac{6}{3}} = 0$$
     • $$\sqrt{0} = 0$$
     • $$0 = 0$$. Значит, $$x_1 = \frac{1}{3}$$ является решением.
   • $$x_2 = \frac{3}{2}$$. Подставляем в исходное уравнение:
     • $$\sqrt{3 \cdot (\frac{3}{2})^2 + 5 \cdot \frac{3}{2} - 2} = 3 \cdot \frac{3}{2} - 1$$
     • $$\sqrt{3 \cdot \frac{9}{4} + \frac{15}{2} - 2} = \frac{9}{2} - 1$$
     • $$\sqrt{\frac{27}{4} + \frac{30}{4} - \frac{8}{4}} = \frac{9}{2} - \frac{2}{2}$$
     • $$\sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$$
     • $$\frac{7}{2} = \frac{7}{2}$$. Значит, $$x_2 = \frac{3}{2}$$ является решением.

Ответ: $$\frac{1}{3}; \frac{3}{2}$$