1. Решите уравнение: √ 2 2 Вариант 2 π 1) cosx = -1; 2) sin(+1) = -1; 8) sin5x + sinx = 0. 2. Решите неравенство: 1) sin sin>; 2 3. Решите уравнение: 3 2) ctg(6x+√3. 1) 4sin²x-11cosx - 1 = 0; 2) 3sin² x sin 2x - cos² x = 2; 3) cos5x cos 7x + sinx = 0. 4. Решите уравнение sin 3x - cos3x = √2 sinx.

Ответ: Решения уравнений и неравенств представлены ниже.

1. Решите уравнение:

1) cos6x = -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Логика такая:

• Общий вид решения уравнения cos(t) = a: t = ±arccos(a) + 2πn, n ∈ Z

Решение:

\[6x = \pm arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in Z\] \[6x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z\] \[x = \pm \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z\]

Ответ: x = ±\(\frac{5\pi}{36}\) + \(\frac{\pi n}{3}\), n ∈ Z

2) sin(\( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \)) = -1

Логика такая:

• Общий вид решения уравнения sin(t) = a: t = (-1)^n arcsin(a) + πn, n ∈ Z

Решение:

\[\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = arcsin(-1) + 2\pi n, n \in Z\] \[\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z\] \[\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z\] \[\frac{x}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z\] \[x = -2\pi + 6\pi n, n \in Z\]

Ответ: x = -2π + 6πn, n ∈ Z

3) sin5x + sin7x = 0

Логика такая:

• Используем формулу суммы синусов: sin(a) + sin(b) = 2sin(\( \frac{a+b}{2} \))cos(\( \frac{a-b}{2} \))

Решение:

\[2sin(\frac{5x+7x}{2})cos(\frac{5x-7x}{2}) = 0\] \[2sin(6x)cos(-x) = 0\] \[2sin(6x)cos(x) = 0\]

Тогда:

\[sin(6x) = 0 \quad или \quad cos(x) = 0\]

Решаем первое уравнение:

\[6x = \pi n, n \in Z\] \[x = \frac{\pi n}{6}, n \in Z\]

Решаем второе уравнение:

\[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z\]

Ответ: x = \(\frac{\pi n}{6}\), n ∈ Z; x = \(\frac{\pi}{2}\) + πn, n ∈ Z

2. Решите неравенство:

1) sin(\( \frac{x}{6} \)) > \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Логика такая:

• Общий вид решения неравенства sin(t) > a: arcsin(a) + 2πn < t < π - arcsin(a) + 2πn, n ∈ Z

Решение:

\[arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n < \frac{x}{6} < \pi - arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in Z\] \[\frac{\pi}{3} + 2\pi n < \frac{x}{6} < \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z\] \[\frac{\pi}{3} + 2\pi n < \frac{x}{6} < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z\] \[2\pi + 12\pi n < x < 4\pi + 12\pi n, n \in Z\]

Ответ: 2π + 12πn < x < 4π + 12πn, n ∈ Z

2) ctg(\(6x + \frac{\pi}{6}\)) ≥ -\(\sqrt{3}\)

Логика такая:

• Общий вид решения неравенства ctg(t) ≥ a: πn < t ≤ arcctg(a) + πn, n ∈ Z

Решение:

\[\pi n < 6x + \frac{\pi}{6} \le arcctg(-\sqrt{3}) + \pi n, n \in Z\] \[\pi n < 6x + \frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in Z\] \[\pi n - \frac{\pi}{6} < 6x \le \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z\] \[\frac{\pi n}{6} - \frac{\pi}{36} < x \le \frac{4\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}, n \in Z\] \[\frac{\pi n}{6} - \frac{\pi}{36} < x \le \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6}, n \in Z\]

Ответ: \(\frac{\pi n}{6} - \frac{\pi}{36}\) < x ≤ \(\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6}\), n ∈ Z

3. Решите уравнение:

1) 4sin²x - 11cosx - 1 = 0

Логика такая:

• Заменим sin²x на 1 - cos²x, чтобы получить квадратное уравнение относительно cosx.

Решение:

\[4(1 - cos^2x) - 11cosx - 1 = 0\] \[4 - 4cos^2x - 11cosx - 1 = 0\] \[-4cos^2x - 11cosx + 3 = 0\] \[4cos^2x + 11cosx - 3 = 0\]

Пусть t = cosx, тогда:

\[4t^2 + 11t - 3 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169\] \[t_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\] \[t_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-11 - 13}{8} = \frac{-24}{8} = -3\]

Возвращаемся к замене:

\[cosx = \frac{1}{4} \quad или \quad cosx = -3\]

Второе уравнение не имеет решений, так как -1 ≤ cosx ≤ 1.

Решаем первое уравнение:

\[x = \pm arccos(\frac{1}{4}) + 2\pi n, n \in Z\]

Ответ: x = ±arccos(\( \frac{1}{4} \)) + 2πn, n ∈ Z

2) 3sin²x - sin2x - cos²x = 2

Логика такая:

• Используем формулу sin2x = 2sinxcosx и sin²x + cos²x = 1.

Решение:

\[3sin^2x - 2sinxcosx - cos^2x = 2\] \[3sin^2x - 2sinxcosx - cos^2x = 2(sin^2x + cos^2x)\] \[3sin^2x - 2sinxcosx - cos^2x = 2sin^2x + 2cos^2x\] \[sin^2x - 2sinxcosx - 3cos^2x = 0\]

Разделим обе части уравнения на cos²x (если cosx = 0, то sinx = ±1, и это не решение):

\[\frac{sin^2x}{cos^2x} - 2\frac{sinx}{cosx} - 3 = 0\] \[tan^2x - 2tanx - 3 = 0\]

Пусть t = tanx, тогда:

\[t^2 - 2t - 3 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\] \[t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Возвращаемся к замене:

\[tanx = 3 \quad или \quad tanx = -1\]

Решаем первое уравнение:

\[x = arctan(3) + \pi n, n \in Z\]

Решаем второе уравнение:

\[x = arctan(-1) + \pi n, n \in Z\] \[x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z\]

Ответ: x = arctan(3) + πn, n ∈ Z; x = -\(\frac{\pi}{4}\) + πn, n ∈ Z

3) cos5x - cos7x + sinx = 0

Логика такая:

• Используем формулу разности косинусов: cos(a) - cos(b) = -2sin(\( \frac{a+b}{2} \))sin(\( \frac{a-b}{2} \)).

Решение:

\[-2sin(\frac{5x+7x}{2})sin(\frac{5x-7x}{2}) + sinx = 0\] \[-2sin(6x)sin(-x) + sinx = 0\] \[2sin(6x)sin(x) + sinx = 0\] \[sin(x)(2sin(6x) + 1) = 0\]

Тогда:

\[sin(x) = 0 \quad или \quad 2sin(6x) + 1 = 0\]

Решаем первое уравнение:

\[x = \pi n, n \in Z\]

Решаем второе уравнение:

\[sin(6x) = -\frac{1}{2}\] \[6x = (-1)^n arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in Z\] \[6x = (-1)^n(-\frac{\pi}{6}) + \pi n, n \in Z\] \[x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}, n \in Z\]

Ответ: x = πn, n ∈ Z; x = (-1)^(n+1)\(\frac{\pi}{36}\) + \(\frac{\pi n}{6}\), n ∈ Z

4. Решите уравнение: sin3x - cos3x = \(\sqrt{2}\)sinx

Логика такая:

• Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\), чтобы привести к формуле синуса разности.

Решение:

\[\frac{1}{\sqrt{2}}sin3x - \frac{1}{\sqrt{2}}cos3x = sinx\] \[sin3xcos(\frac{\pi}{4}) - cos3xsin(\frac{\pi}{4}) = sinx\] \[sin(3x - \frac{\pi}{4}) = sinx\]

Тогда:

\[3x - \frac{\pi}{4} = x + 2\pi n, n \in Z \quad или \quad 3x - \frac{\pi}{4} = \pi - x + 2\pi n, n \in Z\]

Решаем первое уравнение:

\[2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z\] \[x = \frac{\pi}{8} + \pi n, n \in Z\]

Решаем второе уравнение:

\[4x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z\] \[x = \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z\]

Ответ: x = \(\frac{\pi}{8}\) + πn, n ∈ Z; x = \(\frac{5\pi}{16}\) + \(\frac{\pi n}{2}\), n ∈ Z