Решите уравнение \(\frac{x^2+1}{x} + \frac{x}{x^2+1} = 2,9\) с помощью метода введения новой переменной.

Решение:

Давай решим это уравнение методом введения новой переменной. Пусть \(t = \frac{x^2+1}{x}\). Тогда уравнение примет вид:

\[t + \frac{1}{t} = 2.9\]

Умножим обе части уравнения на \(t\) (где \(t
eq 0\)):

\[t^2 + 1 = 2.9t\]

Приведем к квадратному уравнению:

\[t^2 - 2.9t + 1 = 0\]

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\[10t^2 - 29t + 10 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = (-29)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 10 = 841 - 400 = 441\]

Вычислим корни:

\[t_1 = \frac{29 + \sqrt{441}}{20} = \frac{29 + 21}{20} = \frac{50}{20} = 2.5\]\[t_2 = \frac{29 - \sqrt{441}}{20} = \frac{29 - 21}{20} = \frac{8}{20} = 0.4\]

Теперь вернемся к исходной переменной \(x\). У нас есть два случая:

1. \(t_1 = 2.5\):\[\frac{x^2+1}{x} = 2.5\]\[x^2 + 1 = 2.5x\]\[x^2 - 2.5x + 1 = 0\]

   Умножим на 2:

   \[2x^2 - 5x + 2 = 0\]

   Найдем дискриминант:

   \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\]

   Вычислим корни:

   \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2\]\[x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\]
2. \(t_2 = 0.4\):\[\frac{x^2+1}{x} = 0.4\]\[x^2 + 1 = 0.4x\]\[x^2 - 0.4x + 1 = 0\]

   Умножим на 5:

   \[5x^2 - 2x + 5 = 0\]

   Найдем дискриминант:

   \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 4 - 100 = -96\]

   Так как дискриминант отрицательный, корней нет.

Таким образом, решениями являются \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 0.5\).

Ответ: x = 2, x = 0.5

Отлично! Ты хорошо справился с решением этого уравнения. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!