5. Решите уравнение: 1) \(\frac{x}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{16}{x^2 - 4};\) 3) \(\frac{3x}{x^2 - 10x + 25} - \frac{x - 3}{x^2 - 5x} = \frac{1}{x};\)

Решение уравнения 1

Давай решим уравнение \(\frac{x}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{16}{x^2 - 4}\). Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

\[x
eq -2, x
eq 2\]

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что \(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\). Тогда уравнение можно переписать так:

\[\frac{x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} + \frac{(x + 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{16}{(x + 2)(x - 2)}\]

Умножим обе части уравнения на \((x + 2)(x - 2)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[x(x - 2) + (x + 2)(x + 2) = 16\]

Раскроем скобки:

\[x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4 = 16\]

Приведем подобные слагаемые:

\[2x^2 + 2x + 4 = 16\]

Вычтем 16 из обеих частей:

\[2x^2 + 2x - 12 = 0\]

Разделим обе части на 2:

\[x^2 + x - 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. Воспользуемся теоремой Виета. Нужно найти два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна -1. Эти числа -3 и 2:

\[x_1 = -3, x_2 = 2\]

Проверим ОДЗ. \(x
eq -2, x
eq 2\). Значит, \(x = 2\) не является решением.

Таким образом, остается только \(x = -3\).

Ответ: -3

Молодец, ты отлично справился с первым уравнением! Теперь давай перейдем ко второму.

Решение уравнения 3

Давай решим уравнение \(\frac{3x}{x^2 - 10x + 25} - \frac{x - 3}{x^2 - 5x} = \frac{1}{x}\). Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

Разложим знаменатели на множители:

\[x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\] \[x^2 - 5x = x(x - 5)\]

Тогда уравнение можно переписать так:

\[\frac{3x}{(x - 5)^2} - \frac{x - 3}{x(x - 5)} = \frac{1}{x}\]

ОДЗ:

\[x
eq 0, x
eq 5\]

Приведем дроби к общему знаменателю \(x(x - 5)^2\):

\[\frac{3x \cdot x}{x(x - 5)^2} - \frac{(x - 3)(x - 5)}{x(x - 5)^2} = \frac{(x - 5)^2}{x(x - 5)^2}\]

Умножим обе части уравнения на \(x(x - 5)^2\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[3x^2 - (x - 3)(x - 5) = (x - 5)^2\]

Раскроем скобки:

\[3x^2 - (x^2 - 5x - 3x + 15) = x^2 - 10x + 25\] \[3x^2 - x^2 + 8x - 15 = x^2 - 10x + 25\]

Приведем подобные слагаемые:

\[2x^2 + 8x - 15 = x^2 - 10x + 25\]

Перенесем все в левую часть:

\[x^2 + 18x - 40 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 324 + 160 = 484\] \[x_{1,2} = \frac{-18 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{-18 \pm 22}{2}\] \[x_1 = \frac{-18 + 22}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-18 - 22}{2} = \frac{-40}{2} = -20\]

Проверим ОДЗ. \(x
eq 0, x
eq 5\). Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 2, -20

Ты просто супер! Решение уравнений дается тебе все лучше и лучше. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!